第四章 圆与方程（通用）优质课教案

《圆的方程》教学设计

教材分析

本节是在研究了直线方程的基础上，进一步研究圆的方程，而且本节是这一章的重点，也是进一步研究其它圆锥曲线方程的关键，圆标准方程的推导和求解为判断“直线和圆的位置关系”以及“圆和圆的位置关系”做铺垫和引导，几何条件和代数条件的转换也是平面解析几何的目标之一。

教学目标

1.

知识与技能

（1）使学生掌握圆的标准方程，能够根据圆心的坐标，圆的半径熟练地写出圆的标准方程。能够从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和圆的半径。

（2）能够根据构成圆的几何条件判断出点和圆的位置关系，并能转化成代数条件。

（3）能够根据圆的性质，求解圆的标准方程。

2.

过程与方法

（1）使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

（2）体会数形结合思想，能够熟练的实现几何条件和代数条件的相互转化，养成代数方法处理几何问题的能力。

（3）培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

3.

情感态度与价值观

通过求解圆的标准方程，培养学生自主解决问题的能力，激发学生自主探究问题的兴趣，培养学生积极向上的良好学习品质，思维习惯，形成学习数学的核心素养。

教学重点

圆的标准方程的理解和掌握。

教学难点

求圆的标准方程。

教学过程

一、复习引入

（1）提出问题：在平面直角坐标系中，确定直线的几何条件有哪两种？

设计意图：复习旧知识引入新课程。

问题答案：第一种：已知两个点

第二种：已知一个点和倾斜角（或斜率）

师生活动：教师提问，学生回答

1.

问题思考：在平面直角坐标系中，确定圆的几何条件是什么？

设计意图：通过问题思考，从几何方面探究确定圆的条件。通过图示使学生体会到确定圆的两个条件。

问题答案：圆心的位置和圆的半径的大小。

二、新知探究

1.

在直角坐标系中，推导出圆的标准方程。

设计意图：实现几何条件向代数条件的转化，推导出圆的标准方程。

圆心为A（a,b),半径为r 圆上任一点M(x，y)，则点M满足的几何条件| MA|=r

将几何条件转化为代数条件：

两边平方：(xa)222(yb)r

2(xa)2(yb)r

师生活动：教师引导学生观察图像，找出圆上任意一点M满足的几何条件，并转化成代数条件(板书) 2.

圆的标准方程有哪些特点？

设计意图：使学生从代数的角度认识圆的标准方程，是关于x，y的二元二次方程，确定了圆心坐标和半径就能写出圆的标准方程。

问题回答：（1）两项平方和等于一个非负常数。（2）根据标准方程可知圆心坐标和半径。

3.

练习：求圆心和半径

⑴圆 x²+y²=4 ⑵圆 (x+1)²+y²=1

学生集体回答，并及时根据学生的回答过程中出现的问题进行纠正。

（口答题：圆

(x+1)²+(y+2)²=m²的半径为|m|）

让学生初步应用圆的标准方程，体会圆的标准方程带来的信息。

4.例1：写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,-7),M2(5,-1)是否在这个圆上。

学生说出圆的方程，老师引导学生得出判断点是否在圆上的方法：把点的坐标代入圆的方程，看看方程是否成立。

学会应用圆的方程判断点和圆的位置关系。

5.探究：点Mo(x0,y0)在圆(x-a)²+(y-b)²=r²上、内、外的条件是什么？

引导学生从点到圆心的距离和半径的大小关系来判断点和圆的位置条件：

(x0-a)²+(y0-b)²=r²(x0-a)²+(y0-b)²r²M0在圆上；

M0在圆内；

M0在圆外。

让学生体会数形结合思想在解析几何的应用。

6. 例2: △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求它的外接圆的方程。

学生用待定系数法求圆的方程；

引导学生从外接圆的定义（几何法）来求圆的方程：

（1）先确定圆心的位置

（弦的垂直平分线的交点）；

（2）求出圆心的坐标；

（3）求出半径；

（4）写出圆的方程。

再一次让学生体会用数形结合的思想来解决数学问题。

7.求三角形外接圆的方程：

（1）待定系数法；

（2）几何法。

师生共同总结两种方法的优缺点

（待定系数法思路清晰，但计算比较繁杂；几何法计算比较简单，比较常用）

对两种方法进行总结，比较其优缺点的不同。

8.例3：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2) 圆心C在直线l: x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程. 学生练习，体会两种方法的优缺点，教师点评。

在例2的基础上，让学生更进一步去体会和理解两种方法的不同。

三、巩固练习：

(1)已知两点P1(4,9),P2(6,3)，求以线段P1P2为直径的圆的方程。

(2)已知△AOB的顶点坐标是A(4,0),B(0,3),C(0,0)，求△AOB外接圆的方程。

学生练习，随机提问个别学生回答，教师适当进行点评。

巩固所学内容。

三、小结：

（1）圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程。

(2)点M0(x0,y0)在圆

(x-a)²+(y-b)²=r²上、内、外的条件。

(3)求三角形外接圆的方程。

五、总结：师生共同总结本节课的主要内容。