4.3.2 空间两点间的距离公式教案（名师）

北大附校2019年春期高2017级数学教学设计

第三讲

空间两点间的距离公式

第十周使用

4.3.2 空间两点间的距离公式的教学设计

毕节市七星关区北大附属实验学校 武敏

【教学目标】

1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 【核心素养】数学抽象，直观想象，数学运算，逻辑推理

【教学重点】空间两点间的距离公式. 【教学难点】一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 【课时安排】1课时. 一、知识背景

角和距离是几何中的基本度量.几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离.一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.

二、指导思想

通过对实际问题的思考，以及对直线上、平面中两点之间距离公式的回顾，最后对空间中任意两点间距离公式的探究，由直观到抽象，再由抽象到直观的过程，逐步重点渗透并培养学生数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理这四大数学核心素养.

三、教学目标的实施过程

1.从正（长）方形求对角线开始，让学生感受勾股定理的作用，并拓展到学会使用勾股定理求正（长）方体的对角线.然后将正（长）方形放到平面直角坐标系里面求对角线的长.这里交给学生自主完成.并请学生自主思考，正（长）方体是否也可以通过建系来进行求解.若学生能通过类比的思想自行得到公式更好. 2.概念的自主构建是教会学生学习的方向，这是具有深度学习意义的.尽管费时费力，但却可以为学生思维发展打好基础.以正（长）方形出发推向正（长）方体，因为体内对角线的计算正式由两次从正（长）方形的对角线的计算而来的.因此，其有

自主寻求建系，推出空间距离公式的可能.这一过程可让学生自行组织小组合作的方式来解决. 3.若得到了长方体内对角线的计算方法后，可推广到空间任意两点间的距离的计算.因为总可以将这两点为基础构造一个长方体.在运用公式时注意坐标的设定，这是一个重要的点，有意为后面向量法作个铺垫. 4.做好《学案》与《练习案》，课前先交由学生预习.

四、思考、探究、例题与习题设置的指导思想

（一）思考：

1.已知矩形ABCD中BC2，CD1.求BD的值.(使用两种解法）

2.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，边AB，AD和AA1长分别为1，2和3，求对角线AC1的长.(类比思考1，本题能不能使用建系的方法来处理）

这两道题主要是引导学生学会使用勾股定理处理简单的两点间的距离（或对角线的1

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长），并从平面问题推向立体问题.

（二）探究：

1.设p(x,y,z)是空间中任意一点，它到原点的距离是多少？

(从特殊的情况入手，化解难度.) 师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成

生：在教师的指导下作答得出

|OP| =x2y2z2

师：如果|OP| 是定长r，那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形？

注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有种回归感.生：猜想说出理由. 探究1的设置主要是建立在处理完前面思考问题的基础之上，期望学生能通过自主建系的方式，构建直角三角形，运用由特殊到一般的思想得到空间当中任意一点到坐标原点的距离.（任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x2 + y2 = r2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣.) 2.如果是空间中任意一点P1 (x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？

一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导.得出结论：

|P1P2| =(x1x2)(y1y2)(z1z2)222；

人的认识是从特殊情况到一般情况的.通过对探究1的处理，将问题一般化，继续运用构建直角三角形的思想（能够运用到勾股定理），逐步得到空间任意两点，即空间两点间的距离公式. （三）例题：

例1、先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：

（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；

（2）A(6，0，1)，B(3，5，7). 解析（1）6，图略

（2）70，图略

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例2、在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等.

解：设点M的坐标是(0，0，z). 依题意，得

(01)20(z2)2=(01)2(03)2(z1)2. 解得z = –3. 所求点M的坐标是(0，0，–3).

两道例题都是为了加强学生对空间两点距离公式的理解和应用. （四）练习：

习题主要加强学生对空间两点间距离公式的掌握和运用，难易程度依次递增.( 青鸟）的第2，3题在对空间两点间距离公式考察的同时，体现了数学知识考查的综合性.（实验）的第2题也是为了这个目标.给不同层次的学生足够的发展空间.

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