习题2.1教学实录与评析

直线与圆的位置关系

一、教学目标：

知识目标：能根据直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，理解判断直线与圆的几何要素；

能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想的运用；

情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

二、教学重点、难点、关键：

（1）重点：用解析法判断直线与圆的位置关系

（2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解

（3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。

三、教学方法与手段：

教学方法：般阳“三步五段”教学法

教学手段：多媒体，尺规作图

四、教学过程设计

1．问题情境

问题1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

设计意图：让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，探究解决问题的方案．通过实际问题引入，让学生体会数学的应用价值，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义．

师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．

师：你怎么判断轮船受不受影响？

生：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交．

师：其实可以归结为直线与圆的位置关系．

2．揭示课题——直线与圆的位置关系

问题2．前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题．请问，直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？

设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解．

师生活动：引导学生回忆直线与圆的位置关系的思想过程．可以展示下面的表格，使问题直观形象．

直线与圆的位置关系

（弦心距）与的关系

图形

直线与圆的交点个数

相交

相切

相离

两个

一个

零个

3．直线与圆位置关系的判断

问题3：用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，注意几何法判断直线与圆位置关系的要点，转化为解析几何的过程。利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系（称此法为“法”）．请问用“法”的一般步骤如何？

设计意图：对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力．

师生活动：教师引导学生分析归纳：

（1）建立平面直角坐标系；

（2）求出直线方程，圆心坐标与圆的半径；

（3）求出圆心到直线的距离

（4）比较与的大小，确定直线与圆的位置关系．

①当时，直线与圆相离；

②当时，直线与圆相切；

③当时，直线与圆相交．

你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗？

设计意图：引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验解析法的思想方法．

师生活动：通过教师追问，引起学生思考．

师：要求圆与直线的方程，首先要建立坐标？那如何建立坐标？

生：学生思考．（以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系。）此种方法较多。

师：（追问）坐标系还可以有其他建法吗？

生（选择一种，师生共同完成）

方法一：如图，以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度．

则台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为，

圆心O（0，0），半径5，

轮船航线所在的直线的方程为，，直线与圆相交．

问题4：利用类比方法引出联立方程判断直线与圆位置关系的方法，对于平面直角坐标系中的直线

和，

联立方程组，我们有如下一些结论：

①与相交，方程组有唯一解；

②与平行，方程组无；

③与平行，方程组有无穷组解．

你能用类比的思想，研究直线与圆的位置关系吗？

设计意图：让学生通过对两条直线的位置关系的研究过程，并通过类比，使学生获得用解析法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．

师生活动：教师提出问题，引导学生得出：

联立方程组，我们有如下一些结论：

①圆与直线相切，方程组有唯一解；

②圆与直线相交，方程组有两组解；

③圆与直线相离，方程组有无解．

方法二：联立方程组，消去，

因为

．

所以，方程组有两组解，直线与圆相交．

问题5：根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤如何？

设计意图：根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想．

师生活动：教师引导学生分析、归纳：

（1）将直线方程与圆方程联立成方程组；

（2）通过消元，得到一个一元二次方程；

（3）求出其判别式△的值；

（4）判断△的符号：

若△＞0，则直线与圆相交；

若△＝0，则直线与圆相切；

若△＜0，则直线与圆相离．

问题6：我们研究了判断直线与圆的位置关系的方法，可以用平面几何知识定性刻画，也可以用解析几何的知识，根据直线与圆的方程来刻画．如果要求轮船在哪个具体位置开始受到台风影响，如何刻画？

设计意图：体验平面几何与解析几何的各自解法．平面几何可以定性刻画，解析几何可以精确刻画，体验坐标法的优越性．

师生活动：教师引导，师生共同解决．

生：求出交点，就是开始受影响的位置．

解出：x=3,y=4或x=4,y=3．

即，在台风中心的东30，偏北40处，开始受到影响．

师：一般来说，平面几何可以定性的刻画直线与圆的位置关系，但在精确刻画它们位置关系时，解析几何就显得“得心应手”，显示出它的优越性．

4．位置关系判断

例1 如图，已知直线：和圆心为的圆，

（1）判断直线与圆的位置关系；

（2）如果相交，求它们交点的坐标．

设计意图：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系．使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．

师生活动：教师引导学生分析解答．

分析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径大小的关系，判断直线与圆的位置关系．

问题7在判断直线与圆的位置关系的不同方法中，你选择哪一种？

设计意图：两种方法的选择，体验各自的优越性和其中蕴含的思想方法．

5．弦长问题

例1如图，已知直线：和圆心为的圆，求弦AB的长度．

设计意图：直线与圆的位置关系，当他们相交时，学习弦长的求法．

师生活动：学生思考解决，可能有两种方法：方法一：因为两个交点坐标分别是，所以用两点距离公式．方法二：构造直角三角形，先求弦心距，再求弦长．

例题2：已知过点M（－3，－3）的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．

生：先独立解决，然后看课本，规范解题．

师：设直线方程为，它的前提是斜率存在．对于斜率不存在的情况用几何画板演示．（答案为：x＋2y＋9＝0，或2x－y＋3＝0）

6．课堂小结

问题9 判断直线与圆的位置关系有哪些方法? 问题10当直线与圆相交时,如何求弦长? 设计意图：巩固所学知识，培养学生归纳概括能力．

师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的步骤是什么？

五、教学目标检测

1．判断直线与圆的位置关系，如果有交点，求出交点坐标．

2．求圆被直线所截得的弦长．

3．已知直线：和圆：，当实数取何值时，直线与圆相交？相切？相离？

分析：可以通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来求解，也可以通过解方程组是否有解来解答．解题时可以借助图形直观理解