阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法优秀教学设计

人教A版高中数学必修2 第二章

阅读与思考

欧几里得《原本》与公理化方法

阅读与思考：欧几里得《原本》与公理化方法

浙江临海市回浦中学

谢佳佳

教学内容分析

欧几里得《原本》与公理化方法是人教A版高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》的阅读与思考，本节课是第二章内容结束后的拓展阅读课. 本课是继学生掌握了立体几何四个公理、平行和垂直的定理、性质基础上，结合欧几里得《原本》的内容，从历史发展的角度学习公理化方法.公理化方法对概括整理数学知识、促进新理论的创立、对其他学科的示范都有重要作用，是创建新的体系的一种方法，对学生后续学习、研究有积极的延伸. 学情分析

学生已经掌握了实数运算性质、初中平面几何、必修4《平面向量》等基本内容，但是很多额外的知识内容如向量中的“外积”、代数中的“群、环、域”等都没有基础. 之前学生也重点学习了必修2第一章《空间几何体》、第二章《点、直线、平面之间的位置关系》的内容，能直观认识和理解空间中点、直线、平面的位置关系，会用数学语言表述、证明有关立体几何中平行、垂直等问题. 教学重难点

教学重点：结合《原本》和学生已有的知识掌握公理化方法. 教学难点：公理化方法和非欧几何中的平行公理. 教学目标

1.经历两个熟悉命题的证明，分析推理结构，理解公理化方法的概念. 2.经历《原本》第I卷中三个命题的证明和第XI卷中内容解读，学生进一步了解《原本》的内容并且加深对公理化方法的理解. 3.通过介绍《原本》的起源、诞生、意义及非欧几何的创立，了解公理化方法的作用（整理概括数学知识、促进新理论的创立等）.学生更全面地理解所学知识.

教学过程设计

一.

课堂引入

1.实数“域”和向量“空间”简介. 实数是有序的，可以比较大小；实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算是封闭的；加法运算满足交换律、结合律，乘法运算满足交换律、分配律、结合律；在现实生活中有广泛运用. 向量的加、减、数乘运算是封闭的；向量的加法满足交换律、结合律；数量积运算满足交换律、分配律. 向量是沟通几何和代数的桥梁，并且有丰富的物理背景，有广泛的运用价值，是一个优良的“空间”. 引出课题创建一个新的体系的方法—公理化方法.

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欧几里得《原本》与公理化方法

【设计意图】从学生熟悉的实数、向量两个体系出发，让学生了解“为什么要学公理化方法”，“如果学习了公理化方法，创建什么样的体系更有意义”.

2.

【问题】求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 如图：//,AB//CD,A,C,B,D.求证：ABCD.【师生活动】学生独立完成证明，并解说证明过程. 师生共同明确证明结构：

命题(夹在两个平行平面间的平行线段相等).

平面与平面平行的性质定理

公理2推论【问题】证明平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，

那么它们的交线平行.

如图：平面，,满足//,a,b,求证：a//b.【师生活动】学生思考并解答证明过程；

师生明确推理结构：

平面与平面的定义平面与平面平行的性质定理.两直线平行的定义

3. 通过上述定理和命题的证明，得到如下证明框架：

公理2推论命题.

平面与平面平行的定义平面与平面平行的性质定理直线与直线平行的定义

故命题“夹在两个平行平面的线段相等”可以追溯到“两直线平行定义”、“两平面平

行定义”结合“公理2推论”，这就是一种公理化思想的运用. 【设计意图】1.上述命题和定理均取材于教科书，从学生已经熟悉问题引入，主要为了提取出证明框架，不仅有效地节约了课堂时间，而且让学生对公理化方法概念有了经验积累.2.引入中特地选择平行相关的定义和证明命题，和后面欧式几何、非欧几何中的平行公理形成一体.

二.公理化方法. 1.数学公理化方法. 数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明

的原始命题（公理，公设）出发，应用严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法. 2.基本概念和公理的解读.

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基本概念是一些不加定义的原始概念，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念去定义的.如中学数学中的点、线、面.

公设和公理，现在一般都统称为公理，是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定.

一般的，公理要求相容性（公理间不能互相矛盾）和独立性（任一公理不能从别的公理推出来）. 3.引出数学史上第一次给出公理化体系的数学巨作—《原本》. 【设计意图】根据前面的经验积累自然给出数学公理化方法的内涵，对学生理解相对模糊的“基本概念、公设、公理”等作必要的解读，让学生加深对公理化方法内涵的理解.

三.《原本》简介

1.

历史起源

古代几何最早记载可以追溯到古埃及、古印度、古巴比伦.早期的几何学是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，被用于满足在测绘，建筑，天文和各种工艺制作等实际需要. 后经过泰勒斯、毕达哥拉斯等几何学家的发展，古希腊数学已经积累了大量的、具体的成果.但是这些知识缺乏系统性, 大多数都是片断的、零散的. 注：中国文明和其对应时期的文明发达程度相当，因此它可能也有同样发达的数学，但是没有那个时代的遗迹可以使我们确认这一点.也许这是部分由于中国早期对于原始的纸的使用，而不是用陶土或石刻来记录他们的成就. 2.

《原本》诞生

欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果整理、收集起来，并加以系统化。他从少数已被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论，写成了十三卷在数学史上的数学巨作《原本》，使几何学成为一门独立、演绎的科学. 3.

历史意义

欧几里得《原本》在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系，成为理性思维的象征，对整个数学发展产生了深远的影响. 公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受.人们普遍建立了这样的认识，所有的数学理论，都必须按照数学的定义，公理与三段论的逻辑论证来组织. 【设计意图】1.学生对《原本》比较生疏，通过对《原本》的发展、意义简述，拉近学生和《原本》的距离,为紧接着的内容作预热.2.通过对《原本》的历史起源、诞生的介绍，拓宽知识面，渗透数学文化，.

四. 《原本》内容简介

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卷123内容直线形几何代数法圆定义23211公理5公设5命题48143745多边形比例论718162567相似形数论42233398910数论数论不可公度量001627361151112立体图形求积术280391813正多面体合计01315518465

2.第I卷内容框架

(1)

介绍23个定义，五条公设，五条公理；

解读定义I.1、定义I.15、公设I.3、公理I.1等. （2）【问题】证明：命题I.1 已知一条线段可作一个等边三角形. 【师生活动】学生阐述证明过程，教师展示几何《原本》中的证明过程. 证明：设AB为已知的线段.

如图，以A为圆心、AB为半径作圆BCD(公设1.3);再以B为圆心，以BA为半径作圆ACE(公设1.3)；两圆相交与C点，连接CA、CB.

因为A点是圆CDB的圆心，故AC等于AB（定义I.15） .又点B是圆CAE的圆心，故BC等于BA（定义I.15）. 因为等于同量的量彼此相等（公理I.1），

所以CA等于CB. 所以三条线段CA、AB、BC相等. 所以三角形ABC是建立在线段AB上的等边三角形. 公设I.3【师生活动】师生共同提取证明结构：定义I.15命题I.1.

公理I.1【问题】证明：命题I.3给定两条不等线段，可以在较长的线段切取一条线段等于较短的线段.

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【师生活动】学生阐述自己的证明过程. 公设I.3教师提取《原本》中的证明结构：定义I.15命题I.3.

公理I.1（3）教师展示

“命题I.11过直线上的一点，可以作该直线的垂线”的证明过程. 命题I.3学生提取证明结构：命题I.1命题I.11.

定义I.10【设计意图】1.通过第I卷中三个命题的学习，让学生理解《原本》中一系列命题的推理结构，渗透公理化方法.2.鉴于学生对第一卷中的定义、公理、公设不熟悉，且量较大，短时间无法细读运用，故选取了学生知识范围内能证明的命题I.1 和I.3，紧接着又利用前两个命题证明命题I.11，重点提取它们的推理结构，理解公理化方法的具体运用. 3.【学生活动】自主展示学习《原本》第错误！未找到引用源。卷中立体几何的一些内容. 【设计意图】本章学生刚学习了立体几何的内容，课前布置学生自学《原本》第错误！未找到引用源。卷中立体几何的内容，在知识上可以作呼应.而且通过自主学习和展示，不仅可以更好地理解公理化方法的运用，而且可以提升学生课外学习、思考能力.

五、非欧几何的创立

1.第五公设

第五公设相对其他几条公设比较冗长，而且欧几里得在证明中很少用它，很多数学家致力于第五公设的证明. 罗巴切夫斯基认为第五公设不能被证明，把第五公设换成一条新的公设“平面内过已知直线外一点至少可以引两条直线与已知直线不相交”，并发表了一系列研究，提出新的几何学.但当时由于知识的局限性，他的新几何学受到了世人的抨击和反对，但是他坚持新几何学的研究，被称为几何学中的“哥白尼”，他的几何学被后人成为罗氏几何. 2.对比欧式几何和罗氏几何的公理体系

基本元素（点、直线、平面）基本概念基本关系（结合、顺序、合同）结合公理（1-8）

欧几里得几何学公理体系顺序公理（1-4）公理合同公理（1-5）连续公理（1-2）平行公理（1）

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基本元素（点、直线、平面）基本概念基本关系（结合、顺序、合同）结合公理（1-8）罗巴切夫斯基几何学公理体系顺序公理（1-4）公理合同公理（1-5）连续公理（1-2）罗巴切夫斯基平行公理（1）3.剖析欧式几何和非欧几何

欧式几何和非欧几何（通常指罗氏几何和黎曼几何）不同是因为平行公理不同. 欧式几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.它是观察下的平面、直线，事实上的直线、平面.适合于我们这个不大不小、不远不近的空间，符合人们的几何直观. 罗氏几何：过已知直线外一点至少可以引两条直线与已知直线不相交.黎曼几何：在同一平面内任何两条直线都有公共点.非欧几何学者认为，观察下的平面、直线，事实上是曲线和曲面.只有在理想化状态下存在. 4.黎曼几何的平行公理

（1）

建立一个粗略的模型解释黎曼几何中直线、平行公理.

（2）三角形内角和. 欧式几何中三角形内角和等于1800；

黎曼几何中三角形内角和大于1800.

【设计意图】1.通过介绍非欧几何的创立，渗透公理化方法的作用.2.通过介绍非欧几何中一些浅显易懂的内容，拓宽、丰富学生的数学知识；同时通过主要人物、主要成果的介绍，渗透数学文化.

六、公理化方法的作用

1.

概括整理数学知识.2.促进新理论的创建.3.对其他的学科有示范作用.

七、小结

请学生谈谈这节课的收获和感悟.

八、作业布置

1.细读欧几里得《原本》的若干定义、公理、公设和命题. 2.简述《原本》在数学史上的意义. 3.写一篇有关公理化方法的小论文.