第四章 圆与方程（通用）优质课一等奖

课题： 四、与圆有关的最值问题

教学目的要求：

课型：研究讨论课

1、知识与技能：掌握圆的方程、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。

2、过程与方法：培养学生的数形结合、函数与方程、转化与化归的的数学思想

3、情感态度与价值：通过由特殊到一般的归纳、激发求知欲，培养积极探索、猜想、论证的思维习惯；勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度。 教学重点：分析圆的方程、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，突出几何法求最值

教学难点：如何对所求数学量进行转化。

课时进度：第一课时

步骤及时间分配

教学方法:先学后教，当堂训练

内 容

关键：数与形的有效转化

教具：多媒体课件

备 注

教学构想

教

学

教师活动

学生活动

1学生齐读

阶段

考向

瞭望

创设

情境

教学素

达成目标

材

把新知识化成小问题逐一突破

综合运用所学知识，获取直线的方向向量，把向量坐标化，得到直线的参数方程，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

归纳1:直线与圆距离的最值

流

程

一、最新考纲

1.能用直线和圆的方程解决一些与圆有关的最值的问题；2.掌握数形结合思想、转化与化归思想和构造法. 二、课前热身

1、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

2、根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？

提问：1.已知M为圆O: x2+y2= 1 上的点，

直线l: 3x-4y-10=0,令M到l的距离

为d,则d的最大值和最小值是多少？

Dmax=3 dmax=1

y

x2y21

Mx3x-4y-Mol

阅读教材

完成

【自学指导1】

教材

思考，讨论，研究2名同学回导学案

答

教材

1名同学回答

导学案

上黑板展示

教

学

流

程

温故

知新

探

究

新

知

2.已知点P（x，y）是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点.求x-2y的最大值和最小值.

y

(x2)2y21

【解析】2.设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点. 三、双基探究

1.圆的标准方程与一般方程？

2.直线与圆的位置关系

3.直线与圆的位置关系判断方法：

4、圆与圆的位置关系：

四、考点突破

1、直线与圆距离的最值

Cox问题1.已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C:x2＋y2－2y＝0上的动点，求△ABP面积的最小值．

【解析】要求△ABP面积的最小值，

即求圆上的点到AB的距离的最小值，

即为圆心到AB的距离减去半径，

圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心C(0，1)，

直线AB为3x－4y－12＝0，

|－4－12|16d＝－1＝55－111＝5.

1S△ABP的最小值为2×|AB|1111×5＝2. 【变式训练1】

阅读教材

完成

【参照导学案】

并总结参数的

几何意义

针对性训练2 导学案

1名同学回答

学生练习

小组合作

相互交流

3名学生回答

导学案

小组合作讨论导学案

总结出结论

教材

2名同学回答

学生做题回答

导学案

学生做题回答

师生共同解析

多名同学回答

归纳2：已知x,y为圆上点的坐标，

求代数式f(x,y)的最值

通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．

回忆所学知识

通过本题训练，使学生进一步认识直线的参数方程的标准形式。

通过本题训练，使学生掌握求直线的参数方程的思路、步骤。

通过本题训练，使学生进一步体会圆上动点到定直线的距离的最大值、最小值，培养学生从分析问题和解决问题能力以及动手能力．

学

以

致

用

探

究

新

知

学

以

致

用

已知圆O：x2+y2=1

与直线l:

3x-4y-10=0,则l任取一点P向圆O作两条切线PA、PB,求四边形PAOB面积的最小值是多少？

[解析]：要求四边形PAOB面积的最小值只要求圆心到直线l距离的最小值，

dmin=2,切线长AP=3

四边形PAOB面积=2倍三角形OAP的面积=AP*OA=3

2、已知x,y为圆上点的坐标，

求代数式f(x,y)的最值

2.直线的参数方程一般形式

提出问题2.已知点P（x，y）是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一y2点.求 x1 的最大值和最小值. 【解析】设y2k= x1 则直线kx-y-k+2=0与圆C（x+2）2+y2=1有公共点，

3k2k211.3333k,44kmax3333,kmin.44【变式训练2】

已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，

设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2 其中A(0，1)，B(0，－1)，求d的最大值.

小组合作讨论总结出结论

师生共同解析

小组合作讨论总结出结论

师生共同解析

小组合作讨论总结出结论

导学案

导学案

导学案

(1).圆上动点到定直线的距离的最大值、最小值

问题：转化为圆心到定直线的距离加半径和减半径；

(2).dmax=d+r, dmin=d-r

【方法感悟】

规律方法

把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：

y－b(1)形如m＝的x－a最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.

课堂

自测

师生共同解析

22d＝|PB|2＋|PA|2＝x20＋(y0＋1)＋x0＋(y0－

2221)＝2(x0＋y0)＋2.

2x20＋y0为圆上任一点到原点距离的平方，

22∴(x20＋y0)max＝(5＋1)＝36，

∴dmax＝74.

五、答题模板

已知实数x，y满足方程

22x＋y－4x＋1＝0.

y

(1).求x的最大值和最

小值；

(2).求y－x的最大值

和最小值；

(3).求x2＋y2的最大值

和最小值.

解

原方程可化为(x－2)2学生做题

2＋y＝3，

表示以(2，0)为圆心，3为

半径的圆.

师生共同解析

y(1).x的几何意义是圆上一

点与原点连线的斜率，

y所以设x＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，

斜率k取最大值或最小

|2k－0|值，此时2＝3，解

k＋1

得k＝±3(如图1).

y所以x的最大值为3，最小

值为－3.

[解析]：设P(x0，y0)，(2)y－x可看作是直线y＝

导学案

导学案

归纳：

y－b(1)形如m＝的x－a最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

课堂

小结

x＋b在y轴上的截距，当学生做题

纵截距b取得最大值或最

|2－0＋b|小值，此时＝3，

2师生共同解析

解得b＝－2±6(如图2).

所以y－x的最大值为－2

＋6，最小值为－2－6.

22(3)x＋y表示圆上的一点学生做题

与原点距离的平方，由平

面几何知识知，在原点和

圆心连线与圆的两个交点师生共同解析

处取得最大值和最小值

(如图3).

六、收获体会：

1、知识是与圆有关的最值

（1）.直线与圆的距离最值

学生总结本节（2）.已知x,y为已知圆上点课所学内容

的坐标，

求关于x,y的代数

式f(x,y)的最值

2、思想是两种

（1）.数形结合思想、

（2）.转化与化归思想. 3、方法是构造法：

直线y＝x＋b与圆相切时，

导学案

导学案

导学案

归纳：

(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

归纳：

(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.

使学生对本节课所学知识有一个系统全面的认识

作业

内容作业：课时训练

四、与圆有关的最值问题 数量：3

把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：

板书(1)形如m＝y－b的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

x－a设

计

(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.

教学

反

思