3.1.3 导数的几何意义优秀教学设计内容

《导数的几何意义》

一、教材分析

本节内容选自人教B版数学选修1-1第3章“导数及其应用”第3.1.3“导数的几何意义”第一课时. 导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用形成完整概念，有利于学生对知识的理解和掌握. 通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具. 二、学生学习情况分析

选修1是文科学生学习的内容，学生学习兴趣较高，但独立探索，解决问题的能力稍差，数学语言的表达及数形结合的能力、对知识灵活运用的能力仍有不足.通过前两节对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但是由于导数定义的抽象性，学生理解起来仍具有一定的困难。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重点、难点。

三、教学目标

1、知识与技能：理解导数的几何意义，导数的几何意义与应用问题的联系

2、过程与方法：通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观察、分析、

比较和归纳的能力。并通过对问题的探究体会逼近、类比、从已知探讨未知、从

特殊到一般的数学思想方法。通过对geogebra软件的应用，使学生学会用数学软件自主学习和研究数学问题。并通过用geogebra软件制作课件，提高了数学课堂信息技术的使用频率，解决了长期以制作高中数学课件难度较大的问题，而且在使用过程中，不需要数学动态演示和ppt之间随时切换。

3、情感态度与价值观：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题

时，抓住问题本质，严谨细致思考，了解数学在现实生活中的意义。

四、教学重点、难点

教学重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意义解决相关问题。

教学难点：深刻理解导数的几何意义以及导数几何意义在实际生活中的应用。

为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，我特别设计了如下的教法和学法： 五、学法与教法

教法：

在教学过程中始终以学生为主体开展一切教学活动，注重师生互动，共同探索；教师精心设计问题，引导学生循序渐进，获得知识。

(1) 新课的引入：通过课件的展示，提出问题，激发学生的求知欲。

(2) 探索导数的几何意义：数形结合，让学生在观察，思考，发现中学习。

(3) 例题处理：深化导数几何意义对函数单调性及函数变化快慢的理解与应用，巩固新知。

(4) 随堂演练：发散学生思维，提高学生动手能力。

学法：

(1) 合作学习：师生之间，同学之间合作交流，共同探讨问题（如对导数的几何意义的探究与对切线与曲线交点的个数探究）

(2) 自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与教学活动（如函数割线与切

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线之间的联系）

(3) 探究学习：引导学生主动探索解答问题的方法（如导数的几何意义与函数变化快慢的关系）

六、教学过程设计

（一）旧知回顾、新课引入

yf(x0x)f(x0)1.平均变化率定义：=；

xx2.平均变化率几何意义：函数图象割线AB的斜率k；

3.导数的定义：f(x0)limyf(x0x)f(x0)=k切线

x0xx媒体作用：通过提问，学生复习，实施类比迁移，引入本节课题，并为探寻导数的几何意义作好准备.

（二）导数几何意义的探求过程

[一]切线的定义

演示课件：曲线的割线与切线。

问题1、由平均变化率与瞬时变化率（导数）定义的表达式可以联想到之前学过的哪个数学公式？

学生：斜率

学生探究：已知函数f(x)=x在点P(2,4),P1(0,0),P2(1,1)P3(1.5,2.25),分别画出函数f(x)的割线PP1,PP2,PP3,并求出割线PP1,PP2,PP3的斜率。通过观察图像来看割线

PP1PP2PP3是怎样变化的？课件演示：一般曲线的切线和割线

2已知点P,Q,当点Q趋近于点P

时，割线PQ的变化趋势是什么？

设计意图：通过PPT课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，

使学生体会这种定义适用于各种曲线.反映了切线的直观本质.

学生：点Q趋近于点P时，割线PQ趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线。 教师：引导学生归纳总结曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率就是当割线P,Q两点重合时切线的斜率，即f(x)在x=x0处的导数值。

演示课件：用geogebra软件动画演示导数定义中当x趋近于0时割线变切线的过程。

问题2、曲线在点P处切线用能用直线与切线的公共点个数来定义吗？

设计意图：概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.

通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定。由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入本节课重点内容的探索过程。

学生活动：让学生小组讨论出各种熟悉的函数，并通过数学软件演示图像和切线及交点的情况

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结论：切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时，不一定是曲线的切线. （三）导数的几何意义与函数单调性的关系

问题导入

生活实例：在滑滑梯的过程中，速度会感觉时快时慢，探究其中的原因。

设计意图：引入导数的几何意义与单调性的联系

课件演示：用geogebra软件作出函数f(x)4x2650x10000的图像及若干点处的切线，并求出切线的斜率。

设计意图：让学生通过观察图像结合导数的几何意义总结出切线的倾斜程度与函数变化快慢之间的关系

结论：图象越陡，切线斜率的绝对值越大，函数的变化速率越快。

图像越缓，切线斜率的绝对值越小，函数的变化速率越慢。

例：已知y=f(x)的图像如图所示，

则f'(xA)与f'(xB)之间的大小关系是（）

A.f'(xA)f'(xB) B.f'(xA)f'(xB) C.f'(xA)f'(xB) D.不能确定

学生行为：通过合作讨论以及老师的指导，使得学生理解函数在不同位置函数变化快慢，通过数学的角度对前面提到的滑梯的实际问题有了进一步的解释

设计意图：运用之前总结出的导数的几何意义与单调性的关系解决问题

解答：图象越陡，切线斜率的绝对值越大，函数的变化速率越快的结论得出答案选B

（四）导函数

课件演示：用geogebra软件作出函数f(x)4x650x10000的图像及若干点处的切线，并求出切线的斜率。通过计算发现f'(x0)的值与x0之间存在着一一对应的关系，当x变化时，f'(x)是x的函数，称为f(x)的导函数。

2（五）归纳小结：

1.

导数的几何意义：函数f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数f'(x0)就是函数在点P(x0,f(x0))处切线的斜率. 2.

函数切线的斜率与函数单调性的关系:图象越陡，切线的斜率的绝对值越大，函数的变化速率越快。图像越缓，切线的斜率的绝对值越小，函数的变化速率越慢。

3.

导数值与导函数:函数f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数值与x0之间是一一对应的关系，当x变化时，f'(x)是x的函数，称为f(x)的导函数。

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（六）．评价与反思

1．本教学活动中的创新点主要有：1.通过生活实例的分析和论证，提升了学生理论联系实际的能力，将数学生活化。2.学生展示环节，将学生的猜想通过数学软件论证。3.利用高中信息技术手段，创设可视化环境，完成学习中预设与生成。通过教学实践活动，发现学生参与课堂的程度比较高，教学效果良好。4.突破了在课堂上数学动画课件与ppt之间切换的问题，可以将文字性的ppt或图片截屏后插入geogebra软件中，有了适合数学老师使用的展示平台，解决了数学老师长期以来不能方便地同时展示文字内容和动画效果的难题。

2．本节课的不足主要体现在：1.教师教育信息化和新技术的运用还有待于提高。2.针对新课程核心素养的培养，需要任课教师在实践中进一步探索。

3．期望能够通过一师一优课这样竞赛平台，提高学生学习数学和应用数学软件的兴趣和能力。在往后的学习中，学生可以利用数学软件大胆的猜想和论证一些数学的结论，自主学习，而不是只会跟在老师后面学习。

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