3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计与反思

第二课时导数的运算法则

（重点）1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则. （难点）2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题. 一知识回顾

基本初等函数的导数公式

(1)若f(x)＝c(常数)，则f′(x)＝

. α(2)若f(x)＝x(α∈Q﹡)，则f′(x)＝

. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝

. (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝

. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝

. (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝

. (7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝

. (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝

. 二知识探究

1. 导数的运算法则: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x).

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数

,即:

法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数

,再除以第二个函数的平方，即: f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0).g(x)2g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).2.思考下列问题: (1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)是否能是常数函数? 提示:可以. Cf(x)C'f(x)Cf(x)Cf(x).由法则2:

例如,①若y=f(x)±c,则y′=f′(x); ②若y=af(x),则y′=af′(x); kfxk]2fx［fx］③

(f(x)≠0). [(2)应用导数的运算法则求导数的前提是什么? 提示:应用导数的运算法则求导数的前提是f′(x),g′(x)都是存在的. 3.运算法则的推广

(1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即

[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′=f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).

(2)

积的导数公式的拓展,若y=f1(x)f2(x)…fn(x),则有y′=f1′(x)f2(x)…fn(x)+f1(x)f2′(x)…fn(x)+…+f1(x)f2(x)…fn′(x). 三【即时训练】求下列函数的导数: 1(1)yx.xx(2)ytanx.(3)y5.

例1

求函数y=x3_2x+3的导数. 12(1)y2.xx【变式练习】求下列函数的导数:x(2)y.21x

例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：5

284c(x)=(80x100).100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.(1)90%. (2)98%.【提升总结】

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知

.它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费

用增加的速度也越快.

小结：导数的运算法则

1.(uv)'u'v',(f1f22.(uv)'u'vuv'.

uu'vuv'3.()'.2(uv)vv注意:

fn)'f1'f2'fn'.

uv,uuvv.