1.1.3 四种命题间的相互关系名师教学设计1

1.1..3四种命题及其相互关系

一、教学目标：

l.知识与技能

（1）掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题,能正确判断命题的真假；

（2）会用反证法证明简单的数学问题。

2. 过程与方法

（1）培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；

（2）培养学生抽象概括能力和思维能力．

3. 情感.态度与价值观

通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题

和解决问题的能力。

二、教学重点.难点

重点：四种命题之间的相互关系及真假判断．

难点：.分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

三、学情分析

学生初中阶段已经接触过命题,但不够系统和详细,教学时要通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣.培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力.

四、教学过程

活动一：创设情景、引入课题 问题1：请同学们回顾上一节课学习过的内容：

1、什么叫原命题？逆命题？否命题？逆否命题？并用“若P，则q”形式来表示

2、如何判断这四种命题的真假？

问题2：思考、分析

观察下列四个命题中：

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

1

我们已经知道命题（1）与命题（2）、（3）、（4）之间的关系，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

点题：今天我们学习“四种命题间的相互关系”

活动二：师生交流、进入新知

由命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）是互否命题，命题（3）（4）是互逆命题。

学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：

原命题互逆逆命题若p则q互若q则p为逆否互互否为逆否否否命题互逆否命题若┐p则┐q互逆若┐q则┐p

1、

四种命题之间的相互关系 四种命题的真假性是否也有一定的相互关系？

看下面的例子：（判断真假）

（1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0. 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3. 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0. 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3. （2）原命题：

若x

若x2

若x≥y，则x2≥y2; 逆否命题：

若x2≥y2，则x≥y. 2）一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况: 原 命 题

逆 命 题

否 命 题

逆 否 命 题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

2

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

由此会引起我们的思考：

一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

典例精讲

例1

设原命题是：若a>b,则ac2>bc2. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它们的真假.

解：逆命题：

若ac2>bc2, 则a>b.

否命题：

若a≤b, 则ac2≤bc2.

逆否命题：若ac2≤bc2, 则a≤b.

小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假.因为逆命题与否命题，逆否命题与原命题互为逆否命题，同真同假.

变1

若m≤0或n≤0，则m+n≤0.写出其逆命题、

否命题、逆否命题，并分别指出其真假. 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且”

“或”的否定为“或”

“且”. 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0.

否命题：若m>0且n>0,

则m+n>0.

逆否命题：若m+n>0,

则m>0且n>0.

例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0. 逆否命题：若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2 ≠0. 证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，

则x2＞0，所以x2+y2 ＞0，也就是说x2+y2 ≠0.

3

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题. 【小结】因为原命题和它的逆否命题有相同的真假

性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题. 变2

证明：若a2b22a4b30,则ab1.

逆否命题为：若ab1,则a2b22a4b30.

证明：若a-b=1，则

a2-b2+2a-4b-3

=(a+b)(a-b)+2a-4b-3

=a+b+2a-4b-3

=3a-3b-3=3(a-b)-3

=3×1-3=0

因此原命题的逆否命题为真命题，所以原

命题也为真命题。

反证法

欲证“若p,则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法。

反证法的步骤：

(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

五、当堂检测

1.原命题为“ABC中，若cosA0,则ABC为钝角三角形”

与它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．0 2.命题“

若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角都不相等”的逆否命题是 ________________________________________.它是 命题（“真”或“假”）.

3.求证：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

4

六、课堂小结

（1）四种命题的关系；

（2）四种命题的真假及其关系；

（3）一种方法——反证法. 七、作业：

习题1.1

A组

2~4题

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