2.2.1 椭圆的标准方程教案及板书设计

2.2.1 椭圆的标准方程

教学设计--敬晓萍

当你懈怠的时候，请想想父母期待的眼神！

2.2.1 椭圆的标准方程（第一课）

一、教学目标：

（1）知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

（2）过程与方法：让学生亲历随圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题。

（3）情感态度与价值观：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣和成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、用于探究的优良作风，增强学生审美体验，提高学生数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。

二、教学重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。

三、教学难点：椭圆标准方程的推导（含有两个根式的等式化简）。

四、学情分析：

在学习本节内容之前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度比较浅，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍，在学习过程中难免会遇到困难。如：根据圆的定义类比猜想，学生对含有两个根式之和等式化简的运算还比较生疏，因此去根式的策略选择不当是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。

五、教学策略选择与设计：

（1）教法设计：启发式教学。

在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体，思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。

（2）学法设计：自主探究、合作交流。

鼓励学生大胆类比、动手实验、自主探究，抽象出椭圆定义。课堂上合作交流，用坐标

法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

（3）教学手段：多媒体辅助教学。

借助微课视频、PPT课件、几何画板演示，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学

习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。

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2.2.1 椭圆的标准方程

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六、授课类型：新授课

七、教学资源与工具设计

：

（1）多媒体教室；（2）视频、几何画板；（3）细绳、图钉、彩笔、图板。

八、内容分析：

高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用。根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标。

椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的，它作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点。另一方面，学生虽然对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，也比较了解圆的性质，但从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受，所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学重点。同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然椭圆标准方程的推导成为本节课的教学难点。

圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象。

圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步学习的基础。教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位。

通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，为后面学习双曲线、抛物线奠定了基础。

根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求。

九、教学过程：

课前热身

§利用好课间十分钟，也能“涨姿势”！

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利用好课间十分钟，也能“涨姿势”！

（一）认识生活中的椭圆

（二）动手实验

1.课本上的画法:①取一条一定长的细绳；②把它的两端用图钉固定在纸板上；③当绳长大于两图钉之间的距离时，用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出一个图形。

2.请同学们参照视频中的动画演示，拿出笔、绳子和纸板，自行作图！

3.观察思考：

（1）作图的过程中哪些量没有变？

（2）为什么作图过程中笔尖要绷紧？

（3）笔尖所对应的动点P到两个定点的距离有什么

长度之间的关系？

三、数学归纳

3

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（三）概念透析

1、椭圆的定义： 到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（ ）的点的轨

迹叫椭圆。



这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点之间的距离叫做 。

§思考：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？

（1）

；

（2）

；

（3）

。

2、根据椭圆的定义求椭圆的方程

（1）求曲线方程的基本步骤：

注：检验一般省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明！

3、标准方程的推导

(MF1MF22a)

1）建系：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

（

设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和等于

（2）设点：

正常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。

（3）列式：

由椭圆的定义，MF1MF22a

代入坐标，M(x,y),F1(-c,0),F2(c,0)得：

|MF1|(xc)2y2,|MF2|(xc)2y2

得方程(xc)2y2(xc)2y22a

（想一想：下面该怎样化简？）

x+c22+y2=2a-x-c22+y22

x+c+y2=4a2-4aa2-cx=ax-c+y2x-c+y2

移项，再平方，得

x-c2+y2

4 去括号，化简得

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a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2,

两边再平方，得

22222222

整理得

(ac)xaya(ac),

2222x两边同除以a(ac)，得：

y221.22aaca2-c2的线段吗？

※请看图片：你能从右图中找出表示a,c,

解：令b2a2-c(2ab0),

所以椭圆的方程为：

其中（ > >0）

例1：椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）和（4，0），之和等于10，求椭圆的标准方程。

(4)归纳：

定 义

平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹。（即：PF1PF2常数（大于F1F2））

图 形

不

同

点

标准方程

焦点坐标

相

a,b,c的关系

同

点

焦点位置的判断

5

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x2y21上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，1、

已知椭圆则P到另一个焦点的距离为（

）

2516

A.7

B.5

C.3

D.2

2、

在椭圆16x27y2112中，a

；b

；其焦点位于

轴上，其焦点坐标是

。

x2y21的左、3、

已知F1,F2分别为椭圆右焦点，过F1的直线交椭圆于M,N两点，则MF2N2516的周长为

。

x2y21表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围4、

若方程25m16m是

。

（1）一个定义；（2）二个方程；（3）两种方法

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十、板书设计：

§2.2.1椭圆的标准方程

1.椭圆的定义

2.椭圆的标准方程

3.图形

a、b、c的关系

4.标准方程

5.焦点坐标

椭圆标准方程的推导

例题分析

例题解答

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