2.2.2 椭圆的几何性质教案推荐

课题：椭圆的几何性质

授课教师：张瑶

教材：苏教版教材高中数学选修2-1 1.教学目标：

（1）在解析几何基本思想的引领下，明晰确探究椭圆几何性质的一般方法；

（2）从同一椭圆方程的解出发，经历探究椭圆的范围、对称性和顶点的过程；

（3）通过椭圆方程与圆的方程的对比，寻找出刻画椭圆“扁”的程度的几何量

“离心率”，并从代数角度进行探究；

（4）能根据椭圆方程求出椭圆的几何量、用描点法画出椭圆、结合性质画出椭

圆，会利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程. 2.教学重点、难点：重点是用方程研究椭圆的几何性质. 难点是寻找刻画椭圆“扁圆”程度的几何量，并用它刻画椭圆的“扁圆”程度. 3.教学方法与教学手段：任务型探究式. 4.教学过程：

（1）预备知识

①

椭圆的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.PF1PF22a(2a2cF1F2)

②

椭圆的标准方程：

焦点在x轴上

x2y2+=1(ab0)

a2b2焦点在y轴上

y2x2+=1(ab0)

a2b2（2）问题情境

我们已经用解析法研究了直线、圆的几何性质.解析几何的基本思想是：用代数方法研究几何问题.它包含两个方面，

①将几何对象代数化，即将曲线用方程表示；

②通过曲线方程研究曲线的几何性质.

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因为曲线的几何性质是由曲线上的点所具有的特性决定的，所以，解析几何的思想就是将曲线上的点所具有的特性转化为对方程的解的特性进行研究. 板书：

曲线

←

点

解

←

方程

x2y2观察、分析椭圆的标准方程221(ab0)，解决下列问题：

ab问题1

如果常量a，b给定，

①

变量x，y受到怎样的限制？这种代数的限制，对应到图形上，体现了椭圆具有怎样的几何性质？

②

如果(x,y)是方程的解，在方程的所有解中，还有哪些解与之紧密相关？这种关系对应到图形上，体现了椭圆具有怎样的几何性质？

问题2

如果常量a，b的值不同，则对应着不同的椭圆方程，其方程对应的

椭圆形状有什么不同？

（3）数学建构

首先我们来研究问题1的第一小问：从方程解的角度来看一看x,y的取值范围. ①

范围

x2y2y2由212，0121，得axa

，byb；

abby2x2x2同理

，由212，0121，得axa

，byb，. baa由数到形，“不等式组，表示区域”，则椭圆位于直线xa,yb组成的矩形内. x2y2再来研究问题1的第二小问：如果(x,y)是方程221(ab0)的解，那ab么，方程的所有解中，还有哪些与(x,y)相关？

②

对称性

因为x,y以平方项（偶次幂）出现，把x换成-x方程不改变，把y换成y方程也不改变，同时改变x，y方程不改变，因此(x,y)，(x,y)，(x,y)也是这个方

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程的解.对应到图象上的点，这些点(x,y)，(x,y)，(x,y)分别是点(x,y)关于y轴，x轴，原点对称的点. 由于方程的解(x,y)的任意性，反应在几何上，这说明椭圆图形关于x，y轴，原点对称.我们将椭圆的对称中心原点叫做椭圆的中心. ③

顶点

通过刚才对方程解的研究，我们知道这个方程有无数组解，这些解中，四个解(0,a)，(0,b)比较特殊.它们在图形中，就是椭圆与x，y轴的交点，即a,0，0,b，椭圆与它的对称轴的交点，我们将这四个点叫做椭圆的顶点.它们的坐标是 A1a,0，A2(a,0)，B10,b，B2(0,b). 2b.所以，两个量a线段A1A2，B1B2称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别2a，和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. x2y2观察椭圆方程221(ab0)，它与我们学习过的何种曲线的方程相像？abx2y2当b与a越来越接近R时，椭圆的方程221(ab0)变得越来越接近于圆的abx2y2方程221(R0)的形式，因此椭圆的形状可能与a,b有关. RRb，这也就是我们第二个问题：如果给出不同组常量a，则对应了不同的椭圆方程，对应的椭圆形状有什么不同？下面我们从几个具体的椭圆来看.

例1 写出下列椭圆的范围、长轴长、短轴长、顶点坐标，并用描点法画出相应的椭圆：

x2x22（1）y1； （2）y21. 49口答几何性质，实物投影进行展示.针对几何性质画图再次探究. x2y21.（PPT中将这三个椭圆移动到同一直角坐标系下，学生观察（3）94它们形状上的区别）

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上面给出三组不同常量a，b，则对应了三个不同的椭圆方程，对应的椭圆形状有什么不同？

我们可以用什么量来刻画它们的“扁圆”程度？

④

离心率

bbb如果用来刻画椭圆的“扁圆”程度. 越大椭圆越“圆”，越小椭圆越“扁”.aaa然而，在椭圆的定义中，b是一个引入量b2a2c2（b0），a和c是定义中的原始量，能否用a和c来刻画它的“扁圆”程度呢？

c2a2b2b2cc因为2，所以越大，椭圆越“扁”，越小，椭圆越“圆”. 122aaaaa焦距与长轴长的比cc叫做椭圆的离心率，记为e，即e0,1. aa这就是今天要学习的椭圆的几何性质.下面就利用刚学习的椭圆的几何性质来解决一些具体的问题. 1例2 已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，长轴长为18，离心率为，求3该椭圆的标准方程. 解 因为中心在坐标原点，焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为

x2y221(ab0). 2ab

e根据题意知2a18，c1，即a9，c3.

a38197.2

b2a2c2

因此，这个椭圆的标准方程为

x2y21.

8172y2x2拓展 椭圆221 (ab0)的几何性质.

ab（4）课堂小结

①

椭圆几何性质的探究过程；

②

椭圆的几何性质； ③

解析几何的基本思想.

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（5）布置作业

①

思考 上节课我们研究的例2中，将圆x2y24上的点的横坐标保持不变，x2纵坐标变为原来的一半，求得的曲线就是一个椭圆，其方程为y21.这说明，4椭圆可以由圆在竖直方向上均匀用力进行变换后得到.很显然，用的力越大，椭圆就越扁，用的力越小椭圆就越圆.请大家思考一下：如何运用图形的伸缩变换，说明ba能够刻画椭圆的“扁圆”程度？

②

课本P36 1-5

（6）板书设计

椭圆的几何性质

曲线

←

点

解

←

方程

几何

代数

x2y2标准方程a2b21(ab0)

①

范围

②

对称性

③

顶点

④

离心率

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教学设计说明：

本节课是基于解析几何的基本思想是用代数方程研究几何性质。前一节课已经推导出椭圆的标准方程，这一节课根据椭圆的方程来研究椭圆的几何性质。这也是本节课的教学重点。

与直线、圆相比，椭圆的方程比较复杂，因此教学中尽可能腾出时空，让学生充分挖掘方程的结构特征，进而从方程结构特征转化为椭圆的几何性质。由于椭圆又是双曲线和抛物线的研究基础，让学生经历整个探究过程，为以后的双曲线和抛物线的学习做准备。

为了让学生更好地明晰解析几何的基本思想，结合本节课的教学内容特点，本节课采用了任务型探究的教学方式。课上由教师提出本节课的总任务，学生在明确的目标的引领下，学习会更主动，知识也避免了碎片化，达到结构化。为了让学生的知识结构化，应在学习任务的主线下，提出问题和解决问题，这也为以后的学习积累一些经验。

本节课将离心率作为教学难点，是因为区别与其他几个几何性质，离心率针对的是不同椭圆，且学生对离心率缺乏认知。因此教学中通过对比圆的方程和椭圆方程结构，提出椭圆的“扁圆”程度，由于进一步用代数结构来研究比较复杂，这儿我们再通过几何的直观和代数认证，进一步探究离心率。而用方程研究椭圆的离心率的问题我们在课后思考中也提供了思考题，让有余力有兴趣的学生得到拓展。

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