2.5 圆锥曲线的统一定义PPT配套优秀教学设计内容

微专题"解析几何中的一类定值"的教学设计

扬州大学附属中学

陈小璐

一、研究背景

模拟测试、阶段测试、小题训练、错题再练等测试方式贯穿于高三复习的全过程，通过练习测试，可以达到巩固所学、发现问题、纠正错误的目的。对于在测试中发现的典型问题，教师可以巧妙的设置微专题，帮助学生探究错因，回归知识本源，形成一般方法。本节课微专题以解析几何为研究背景，以一个独立的知识点为中心，着力让学生掌握基本结论，形成一般方法。

二、基于微专题的教学案例设计

解析几何包含直线圆以及圆锥曲线两个部分内容，是高中数学的一个重要知识，它既有代数形式，又有几何背景。解析几何的内容出现在综合试卷中，运算量大，综合性强，思维难度大，定值问题形式新颖。这就要求我们的学生必须扎实基础，深刻理解知识的本源，具备较好的逻辑推理能力。本节课通过“回归课本题+变式探究形成结论+真题反馈”的形式，从一题课本题出发，寻找其中的定值，采用类比的方法，研究圆、椭圆、双曲线中的一组性质，在反馈的基础上通过拓展延伸，渗透数形结合，类比推理，等价转化等思想方法。

第一步：回归课本

情境引入

B(6,0),C(6,0)直线AB,AC

苏教版教材选修2-1第42页题（5数据有改动）：在ABC中，的斜率乘积为4，求定点A的轨迹。

9x2y2yy4解析：设A(x,y)，根据题意有1(y0)，A点轨迹为双曲，化简得x6x693616x2y2线1剔除x轴上的点。

3616

问题一: 在ABC中，若直线AB,AC的斜率乘积为-1，则定点A的轨迹如何？若直线4，则定点A的轨迹如何？

9解析：在ABC中，若直线AB,AC的斜率乘积为-1 AB,AC的斜率乘积为

（法一）设A(x,y)，根据题意有轨迹为圆x2y236剔除x轴上的点。

yy1，化简得x2y236(y0)，A点x6x6

（法二）若直线AB,AC的斜率乘积为-1，则ABAC，则A点轨迹是以BC为直径的圆（剔除x轴上的点）。

在ABC中，若直线AB,AC的斜率乘积为49

x2y2yy4

设A(x,y)，根据题意有1(y0)，A点轨迹为椭圆，化简得x6x693616

x2y21剔除x轴上的点。

3616

第二步：深度探究

变式探究

问题二：逆命题是否成立呢？

（1）已知B(6,0),C(6,0)，若A点在以BC为直径的圆x2y236（剔除x轴上的点），1

则直线AB,AC的斜率乘积是否为定值？

x2y2

（2）已知B(6,0),C(6,0)，若A点在以B,C为顶点的椭圆1剔除x轴上的点，3616则直线AB,AC的斜率乘积是否为定值？

（3）已知B(6,0),C(6,0)，若A点在以B,C为顶点的双曲x2y2线1剔除x轴上的点，则直线AB,AC的斜率乘积是否3616为定值？

解析：（1）由ABAC，可得kABkAC1为定值

yAx2y2（2）设A(x0,y0)为椭圆1上剔除x轴上的点的任意一3616x02y021且y00

点，则3616x021)

y016(

362BOCxyA

kABkACx0216(1)y0y0y20364

2x06x06x036x02369BOx2y2（3）设A(x0,y0)为双曲线1上剔除x轴上的点的3616x02y021且y00

任意一点，则3616x02)

y016(1

362Cx

kABkACx0216(1)y0y0y20436

2x06x06x036x02369yA问题三：

（1）已知B(a,0),C(a,0)，若A点在以BC为直径的圆x2y2a2（剔除x轴上的点），则直线AB,AC的斜率乘积是否为定值？

（2）已知B(a,0),C(a,0)，若A点在以B,C为顶点的BOCxx2y2椭圆221剔除x轴上的点，则直线AB,AC的斜率乘积是否为定值？

abx2y2

（3）已知B(a,0),C(a,0)，若A点在以B,C为顶点的双曲线221剔除x轴上的ab点，则直线AB,AC的斜率乘积是否为定值？

y解析：（1）由ABAC，可得kABkAC1为定值

（2）设A(x0,y0)为椭圆Axy1上剔除x轴上的点的任意一点，a2b222BOCx2

x02y02则221且y00

abx02

y0b(12)

a

22yABOCxyykABkAC00x0ax0a

y20x20a2x02b(12)2a2x0a2b22ax02y02x2y2（3）设A(x0,y0)为双曲线221上剔除x轴上的点的任意一点，则221且y00

abab222x0

y0b(21)

a

yA22x0b(21)2y0y0y20bakABkAC2

2222x0ax0ax0ax0aa问题四：

（1）已知A是圆x2y2a2上任意一点，BC是过圆心的弦，假设AB,AC的斜率存在，则直线AB,AC的斜率乘积是否为定值？

BOCxx2y2

（2）已知A是椭圆221上任意一点，BC是过坐标原点的弦，假设AB,AC的斜ab率存在，则直线AB,AC的斜率乘积是否为定值？

x2y2

（3）已知A是双曲线221上任意一点，BC是过坐标原点的弦，假设AB,AC的ab斜率存在，则直线AB,AC的斜率乘积是否为定值？

解析：（1）由ABAC，可得kABkAC1为定值

yABOCxx2y2（2）设A(x0,y0)为椭圆221上剔除x轴上的点的任意abx02y02一点，则221且y00

abx02

y0b(12)

a22yABOCx

BC是过坐标原点的弦，设B(m,n),C(m,n)

222mnm221nb(1)

则222aab，

则3

kABkACx02m22b(12)b(12)y0ny0ny02n2b2aa2

x0mx0mx02m2x02m2a2x02y02x2y2（3）设A(x0,y0)为双曲线221上剔除x轴上的点的任意一点，则221且y00

abab222x0

y0b(21)

a

BC是过坐标原点的弦，设B(m,n),C(m,n)

yA2m2n222m

则221nb(21)

aab，B

则kABkAC2x022mb(21)b(21)y0ny0ny02n2b2aa2x0mx0mx02m2x02m2a2Ox

问题五：

C

（1）已知BC是圆x2y2a2上任意一条不过中心的弦，设BC的中点为M，假设BC,OM的斜率存在，则直线BC,OM的斜率乘积是否为定值？

x2y2

（2）已知BC是椭圆221上任意一条不过中心的弦，设BC的中点为M，假设abBC,OM的斜率存在，则直线BC,OM的斜率乘积是否为定值？

x2y2

（3）已知BC是双曲线221上任意一条同侧上的弦，设BC的中点为M，假设abBC,OM的斜率存在，则直线BC,OM的斜率乘积是否为定值？

解析：（1）由BCOM，可得kBCkOM1为定值

yBx2y2（2）设A(x0,y0)为椭圆221上剔除x轴上的点的任意abx02y02一点，则221且y00

abx02

y0b(12)

a22MCOx

BC是过坐标原点的弦，设B(m,n),C(m,n)

ByMCOxm2n2m222

则221nb(12)

aab，

则kABkACx02m22b(12)b(12)y0ny0ny02n2b2aa2x0mx0mx02m2x02m2a24

x02y02x2y2（3）设A(x0,y0)为双曲线221上剔除x轴上的点的任意一点，则221且y00

abab222x0

y0b(21)

a

BC是过坐标原点的弦，设B(m,n),C(m,n)

yB2m2n222m

则221nb(21)

aab，MOxC

则kABkAC2x022mb(21)b(21)y0ny0ny02n2b2aa2x0mx0mx02m2x02m2a2

设计意图：以问题串的形式深入思考，深刻理解问题的本质，在研究问题中掌握类比的数学思想，并理解一类定值问题的数学本质。

第三步：例题探究

巩固提升

x2y21上的任意一点（异于左、右顶点A,B）设点P是椭圆E:．设直线PA,PB分别4交直线l：x4于点M,N，求线段MN的最小值．

x2解: （2）设P(x0,y0)为椭圆y21上的任意一点（异于左、4x02x0222y01且y00y016(1)

右顶点A,B）,则436

kPAkPByMPxAoBNx021y0y0y201224

x02x02x04x0441

4k不妨设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为则PA:yk(x2)M(4,6k)

PB:yMN6k11(x2)M(4,)

4k2k113取“=”

26k23，当且仅当时k62k2k所以综上，线段MN的最小值为23。

第四步：

真题赏析

强化结论

x2y21的江苏2011年18题

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆425

顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k. （1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB. 解：（1）（2）略

（3）证明：（法一）将直线PA的方程为ykx代入y2x2y21，解得x。

24212k记PMA212k2，则P, k, A, k，于是ONC BxC, 0。

∴直线AB的斜率为0kkk，直线AB的方程为y(x)，

2222222代入椭圆方程得(2k)x2kx(3k2)0，解得x(3k22)2k2k，或k3x。∴B((3k22)2k2,k32k)，于是直线PB的斜率为k1212k。2k(3k2)2k22∴k1k1，所以PA⊥PB。

y(法二）：（2）

由题意，设P(m,n),A(m,n)

PM2m2n2m221n2(1)

则442，设B(x0,y0)OANC Bx，则xy022(041

则)kBPkBAx02m2y0ny0ny02n22(14)2(14)1

2x0mx0mx0m2x02m22又C(m,0), kACkABn1m又

kk,kBPBABP，2m2n6

kAPn,kAPkBP1,APBP

m三、微专题教学反思

1. 回归教材，揭示问题的背景，追溯题根的本质。

波利亚先生曾经说过“有些题目的解答就像魔术师帽子里的兔子，不知道从哪里冒出来的，这些想法是如何想到的？揭示了这类问题的本质，我们就能站在更高位置上来看待这个问题，问题就迎刃而解”。解析几何中的定值问题在填空题或解答题中通常同学们都觉有难度较大，那么本节课就从一道课本题入手逐步研究，让学生明白其实很多难题都是蕴含在我们的教材中的，要对教材的问题做深入的思考，形成一类结论。

2. 层层递进，逐步研究，形成研究解析几何的一类研究方法。

高中数学有一条暗线贯穿于整个教学过程中，即数学思想方法。常用的数学思想方法有：函数与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化，类比等等。本着螺旋式上升的原则，设置问题串，采用类比的思想，从特殊到一般，逐步的研究问题形成基本结论。而数形结合的基本思想在我们整个高中学习中都有渗透，从集合到函数再到导数等等，而本节课是解析几何中的一类问题，也渗透了数形结合的思想。

3. 微专题的关联性以及在实践中的可操作性。

微专题区别于我们常规的章节复习，它的来源需要我们去收集、整理和改编，将一系列有关联的知识点连接起来。有针对性的专题会有效地激发学生的积极心理，实现数学知识的有效整合，形成数学思想方法。在专题的探究过程中，培养学生的发现能力，探究问题以及问题解决的能力，提升自己的数学素养。

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