2.2.1 椭圆的标准方程优质教案设计

课题：椭圆及其标准方程

一、教学目标

学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

二、教学重点、难点

（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。

（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

三、教学过程

（一）创设情境，引入概念

1、动画演示，生活中的椭圆。

-

天体运动轨道是椭圆，有些镜子做成椭圆形状。

2动画演示

思考:什么是椭圆？怎样画椭圆？

（二）实验探究，形成概念

1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。

实验探究：

保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？

思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

2、概括椭圆定义

引导学生概括椭圆定义

M

F1F2

椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

思考：焦点为F1,F2的椭圆上任一点M，有什么性质？

令椭圆上任一点M，则有MF1MF22a(2a2cF1F2)

思考：

1、定义中的常数为什么要大于焦距？

2、若常数等于焦距，轨迹是线段

3、若常数小于焦距，轨迹不存在

注:

定义是判断椭圆的方法

定义是椭圆的一个性质

（三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是

【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：

方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；

方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；

方案三：把F1、F2建在x轴上，以F2为原点；

（学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？） 经过比较确定方案一. 2．推导标准方程．

选取建系方案,让学生动手，尝试推导. 按方案一：以过F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分或线为y轴，建立平面直角坐标系．设F1F22c(c0)，点M(x,y)为椭圆上任意一点，

则

PMMF1MF22a，

∴

得xc2y2xc2y22a，

（想一想：下面怎样化简？）

（１）教师为突破难点，进行引导设问：

我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得 (a2c2)x2a2y2a2(a2c2)．

y（2）b的引入．

由椭圆的定义可知，2a2c, ∴a2c20．

F1bMa0cF2x让点M运动到y轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时设图2b2a2c2，于是得b2x2a2y2a2b2，

两边同时除以a2b2，得到方程：x2y21ab0（称为椭圆的标准方程）．

a2b2（3）建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程． 要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？

方法：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x，y2x2y交换了位置），直接得到方程221ab0．

ab 图1 图3

4．归纳概括，掌握特征．

（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；

b2a2c2(ab0)；（2）椭圆标准方程中三个参数a , b , c的关系：

（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.

（四）归纳概括，方程特征

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。

标准方程

x2y2+2=1(ab0)

2aby M y2x2+2=1(ab0)

2bay

F2F2

x 图形

F1

O

M

x O F1

a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置

b2a2c2

(c,0)

b2a2c2

(0,c)

在x轴上

在y轴上

（五）尝试应用，范例教学．

例1 下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明a、b，说出焦点坐标．

22x2y2xy(1)1 (2)1

16162516(3)9x225y22250 (4)3x22y21

x2y2(5)21

2mm1注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然．

（六）变式训练，探索创新

写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是点到两焦点距离的和等于10. 变式一：将上题焦点改为(0,4)、(0,4)，结果如何？

变式二：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？

04，04，、，椭圆上一（七）小结归纳，提高认识

师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。

（八）作业训练，巩固提高

1.P46 习题2.1A组第 1 题，第2题第①小题. （九）板书设计

：

§2.1.1

椭圆及其标准方程

一．椭圆的定义

三．例题

二．椭圆的标准方程

四.

作业

x2y221ab02b焦点在x轴上：a

y2x221ab02yab焦点在轴上；