3.1.3 空间向量的数量积运算课件配套优秀教案案例

空间向量的数量积运算

一、

教材分析

向量是一种重要的数学工具，是沟通代数和几何的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.引进一种新的运算，就要研究相应的运算律.空间向量的数量积运算，是人教社A版数学《选修2-1》中继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础. 二、教学目标

1.通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算. 2.经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题. 3.在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识. 三、教学重难点

重点：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，在运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值. 难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题；深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！”. 四、教学过程

1.1 问题引入，提出概念

问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题？

问题2:

在《必修4》中已经学***面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用。我们还学习了空间向量的加减法、数乘运算，那么空间向量中，怎么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题？

追问：空间向量有数量积吗？为什么？是怎么样的？

【设计意图】空间向量的数量积运算不是凭空产生的，引导学生在与平面向量的类比中，体验空间向量数量积运算存在的必然性，从而自然地引出学习内容.同时，激活学生已有学习经历和知识储备，在例证中发现本质：任意两个空间向量都是共面的，所以任意两个空间向量的数量积，本质上就是平面向量的数量积.

1.2 合作探究，辨析概念

1.2.1小组合作，自主探究

问题3：请同学们四人1小组，借助小组的力量，对照表格中的信息，结合桌上的学习任务单，一起探究：空间向量的数量积到底是怎么样的？

【设计意图】

类比平面向量的数量积，暗示学生从定义、几何意义、运算律等方面学习空间向量的数量积，为学生自主探究空间向量的数量积运算提供方向选择.

分组：4人小组，确定1名组长.组长负责组织讨论，记录、汇报讨论结果.

引导：呈现研究平面向量数量积运算的几个维度，暗示学生探究的方向. 巡视、点拨：确认组长，对讨论过程中个别疑难处进行指导. 提醒：对照表格进行填写，梳理空间向量数量积运算的相关知识.

1.2.2 交流分享，辨析概念

倾听不同小组代表的回答，在与平面向量数量积类比过程中，逐步归纳出空间向量的数量积定义、几何意义、运算律，并猜想：两者完全一样！

在对话和碰撞中，逐步呈现“疑虑”：平面向量中的投影、分配律，在空间向量中仍然适用吗？（小组合作探究）

空间向量的投影

回顾平面向量中投影的概念及作法，重温两种作法：平移转化、直接作垂线，为后续研究提供类比基础。

问题4:类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？

空间向量数量积运算的分配律

由于空间任意两个向量都是共面的，所以空间两个向量的数量积运算就是平面向量的数量积运算。因此平面向量数量积的许多运算律都适用于空间向量的数量积运算.但是注意到：a(bc)abac

问题5：这三个向量一定共面吗？如果不是，这条运算律还成立吗？

【设计意图】引导学生学会观察分析，能利用数学直觉和逻辑推理，从数量积定义和投影概念出发，对分配律是否成立进行论证. 追问：同学们能否借助投影来证明分配律？

结合学习任务单，试作出bc,b,c在a方向上的投影.

问题6：在理清了空间向量数量积的运算律之后，请同学辨析一下书本90页思考题中的三个问题.

2. 应用概念，感悟“运算”

学习一个新的量，就要研究它的运算；研究完运算，就要研究相应的运算律；整个体系完善后，我们就要研究它的实际应用。

例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

POAl

例2.如图,m,n是平面内的两条相交直线.如果lm,ln，求证：l.

【设计意图】

例2呈现了数量积运算刻画空间线面垂直关系的价值.证明l与内任意一条直线g是关键，运用空间向量共面定理表示gxmyn是本题的难点.通过设置问题串，引导学生思考

求解策略；类比例1，促使学生深刻体会数量积运算在刻画空间垂直关系中的应用价值.为此设置问题串来突破难点，并结合书本展示和课堂解析，请同学在课后将详细的推理过程完成在学习任务单上.

3. 归纳总结，作业巩固

3.1知识、方法、思想

3.2课后作业：

书本92:

练习1；

书本99:

B组.第1题；