3.1.1 变化率问题教学内容分析

变化率问题、导数的概念

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P72～P76的内容，回答下列问题．

(1)气球膨胀率

4气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，如果将半径r表3示为体积V的函数，那么r(V)＝33V. 4π①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？

提示：r（1）－r（0）≈0.62(dm/L)．

1－0②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？

提示：r（2）－r（1）≈0.16(dm/L)．

2－1③当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？

提示：r（V2）－r（V1）．

V2－V1(2)高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. ①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？

提示：v＝h（0.5）－h（0）＝4.05(m/s)．

0.5－0②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？

提示：v＝h（2）－h（1）＝－8.2(m/s)．

2－165③在t1≤t≤t2这段时间里，

运动员的平均速度

v又是多少？其中，t1

提示：v＝h（t2）－h（t1）．

t2－t12．归纳总结，核心必记

(1)函数的平均变化率

对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f（x2）－f（x1）称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．

x2－x1习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用

x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为(2)瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

Δy．

Δx②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率时速度．

(3)导数的定义

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：

，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，

记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝=[问题思考] (1)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均变化Δyf（x2）－f（x1）f（x1＋Δx）－f（x1）率＝＝表示什么？

Δxx2－x1Δx．

f（t0＋Δt）－f（t0）趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬Δt

提示：表示割线AB的斜率．

(2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？

Δy提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0，平均变化率可正、可负、Δx可为零．

(3)在高台跳水中，如何求在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度v？当Δt趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

提示：v＝v（1＋Δt）－v（1）.当Δt趋近于0时，平均速度v即为t＝1时的瞬时速度．

（1＋Δt）－1(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？

提示：(1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；

(2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率变化率，它是一个固定值．

[课前反思] Δy趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时Δx

(1)平均变化率的定义是：

；

(2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？

；

(3)导数的定义是什么？如何表示？

；

(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？

．

[思考1]

平均变化率可用式子Δy表示，其中Δy、Δx的意义是什么？

Δx提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量．

[思考2]

如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率？

提示：平均变化率为讲一讲

1．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：

(1)从0.1到0.2的平均变化率；

(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．

[尝试解答]

(1)因为f(x)＝3x2＋5，

所以从0.1到0.2的平均变化率为

3×0.22＋5－3×0.12－5＝0.9.

0.2－0.1(2)f(x0＋Δx)－f(x0)

＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)

22＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)＋5－3x0－5

f（x2）－f（x1）．

x2－x1＝6x0Δx＋3(Δx)2.

函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

6x0Δx＋3（Δx）2＝6x0＋3Δx. Δx

(1)求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.

第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．

第三步，求平均变化率Δyf（x2）－f（x1）＝.

Δxx2－x1(2)求平均变化率的一个关注点

f（x0＋Δx）－f（x0）求点x0附近的平均变化率，可用的形式．

Δx练一练

11．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，x并判断在哪个区间上函数值变化得较快．

解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为

12＋－（1＋1）2f（2）－f（1）1＝＝；

122－1113＋5＋－3145f（5）－f（3）自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.

2155－3114因为<，

2151所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．

x

某物体按s＝f(t)的规律运动．

[思考1]

该物体在[t0，t0＋Δt]内的平均速度是什么？在t0的瞬时速度是多少？

[思考2]

如何求Δy(当Δx无限趋近于0时)的极限？

Δx名师指津：(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．

Δy(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．

Δx讲一讲

229＋3（t－3），0≤t<3，2．若一物体的运动方程为s＝2(路程单位：m，时间单位：3t＋2，t≥3，s)．求：

(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；

(2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．

[尝试解答]

(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为Δs48＝＝24(m/s)．

Δt2

求瞬时速度的步骤

(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；

(2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

(3)求平均速度Δs；

Δt

练一练

2．一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．

由题意知，4a＝8，所以a＝2.

[思考]

任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f(x)＝|x|在x＝0处是否存在导数？

名师指津：不一定，f(x)＝|x|在x＝0处不存在导数．

ΔyΔx→0时，的极限不存在，从而在x＝0处的导数不存在．

Δx讲一讲

13．求函数y＝x－在x＝1处的导数．

x[尝试解答]

∵Δy＝(1＋Δx)－＝Δx＋Δx，

1＋Δx111－

－11＋ΔxΔxΔx＋1＋ΔxΔy1∴＝＝1＋，

ΔxΔx1＋Δx

求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤

简称：一差、二比、三极限．

练一练

3．求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数．

解：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)

＝(3＋Δx)2＋5(3＋Δx)－(32＋5×3)

＝9＋6Δx＋(Δx)2＋15＋5Δx－9－15

＝(Δx)2＋11Δx，

Δy（Δx）2＋11Δx∴＝＝Δx＋11，

ΔxΔx

————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————

1．本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义，也是本节课的难点．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)平均变化率的求法，见讲1；

(2)瞬时速度的求法，见讲2;

(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见讲3. 3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见讲3.

注意：在导数的定义中，增量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式