3.1.3 空间向量的数量积运算国家优质课一等奖

课题：

3.1.3空间向量的数量积运算

总第 个教案

课型：

新授课

上课时间： 年 月 日星期____

教

学

目

标

1.知识与技能

掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法，掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律。

2.过程与方法

通过分析、推导让学生理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，以及两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律。

3.情感、态度与价值观

通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。

教学重点

两个向量的数量积的计算方法及其应用

教学难点

两个向量的数量积的计算方法及其应用

教学方法

通过观察.类比.思考.交流和讨论等. 教学过程：

批

注

活动一：创设情景、引入课题

（5分钟）

问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的数乘？空间向量的共线（平行）向量？共线（平行）向量的定理与推论分别是什么？

问题2：说说平面向量的数量积运算的概念？表示？几何意义？性质？运算律？

问题3：空间中直线与平面垂直的判定定理？

今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的数量积及其运算率并进行一些简单的应用． 点题：今天我们学习“空间向量的数量积运算”

活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）

一、空间向量

1 空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量

a与b的夹角，记作a,b；规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b2，则称a与b互相垂直，记作：ab. 2．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|. 3．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.

可以证明AB的长度|AB||AB|cosa,e|ae|．

4．空间向量数量积的性质： （1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|2aa．

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

活动三：合作学习、探究新知（18分钟）

例1：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

证明：书本P91页

练习：书本P91页例2后的思考？

例2．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

nglmnmgl∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

例3．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

ABACBDACABABBD

AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，

同理：abbc，，

∴acbc，

∴c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例4．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

2O

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

OABC24162322

∴cosOA,BC，

855|OA||BC|A

B

C

322所以，OA与BC的夹角的余弦值为．

5说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成

OA,AC45，切记！

练习：书本P92：1、2、3 活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）

1．什么叫空间向量的夹角及范围？

2．空间向量的数量积的概念？表示？性质？运算律？

活动五：作业布置、提高巩固

1．

书面作业：书本P98：3、4 2．已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，

试求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)

板书设计： 空间向量的数量积运算

1、空间向量的夹角 例1： 例2： 2、空间向量的数量积运算

教学后记：