2.2.1 椭圆的标准方程教学实录与评析

江苏省石庄高级中学2018-2019学年度第一学期高二数学课堂导学案

选修2─1 第2章

圆锥曲线与方程

2.2.1

椭圆的标准方程

【学习目标】

1．建立并掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程；

2．能用标准方程判断曲线是否为椭圆；

3.能熟练地根据已知条件求椭圆的标准方程；

4.能根据椭圆标准方程求解有关问题．

【活动方案】

活动一

理解椭圆的概念，掌握椭圆标准方程的求法

1．椭圆的定义

2．椭圆标准方程

问题：设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，F1F22c，椭圆上任一点P到F1，F2的距离之和为2a（ac），求椭圆的方程．

（1）如何建立坐标系？

（2）椭圆上的点满足的几何条件是什么？如何用代数式表示该几何条件？

（4）如何化简这个代数式？

F1

F2

P

令a2c2b2b0，椭圆的方程可整理为：

．

x2y2我们将方程221ab0叫焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

ab思考1 若椭圆的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎

样推导？

F2

F1

x O P y y2x2我们将方程221ab0叫焦点在y轴上的椭圆的标准方程．

ab将以上两种方程都叫做椭圆的标准方程．

思考2 椭圆的标准方程有什么结构特征？

思考3

如何区分两种标准方程？

x2y2设椭圆标准方程为1，其中m0，n0，mn．则

mn椭圆的焦点在x轴

；

椭圆的焦点在y轴

．

活动二

掌握椭圆标准方程的求法

例1 已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，其焦距为2 m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离

之和为4 m，求这个椭圆的标准方程．

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选修2─1 第2章

圆锥曲线与方程

思考4

求椭圆方程的一般步骤是什么？

例2 将圆x2y24上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明

如果不能直接确定焦点的位置可以用待定系数法设所求椭圆的方程为mx2ny21，其中m0，n0，mn，计算出m，n的值．

活动三

掌握椭圆的标准方程简单应用

它是什么曲线．

例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程．

（1）焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12；

（2）焦点坐标分别是0，2，0，2，并且椭圆经过点352，2；

（3）经过两点622，33，13，．



小结（椭圆的标准方程的两个关键步骤）： 首先“定位”，即确定椭圆焦点所在的坐标轴，从而选择对应形式的标准方程；

其次“定量”，即确定参数a，b的值，要注意到恒等式a2b2c2．

例4 求下列椭圆的焦点坐标．

1）x2（9y21；

（2）16x29y2144．

x2例5 已知方程25my2m91表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围．

例6 求经过点P32，13x2y2，且与椭圆961有相同焦点的椭圆的标准方程．

4

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选修2─1 第2章

圆锥曲线与方程

2.2.1

椭圆的标准方程课堂效率检测

x225y21．若椭圆91上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右焦点的距离为

．

2．已知椭圆5x2ky25的一个焦点为0，2，则k

．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程．

（1）焦点为F20，3，F20，3，且a5；

（2）焦点在x轴上，焦距为4，且过点M3，26；

（3）经过A22，2，32，B2两点．



4．求适合下列条件的椭圆的标准方程．

（1）经过点2，3，且与椭圆9x24y236有共同的焦点；

（2）经过点P3，0，a3c．

5．已知B，C是两个定点，且BC6，且△ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程．

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