2.2.2 椭圆的几何性质主要内容及教案内容

《解析几何中的最值问题》教学设计

江苏省仪征中学 张顺军

（苏教版选修2-1）

【总体分析】

1、解决解析几何的最值问题，不仅要用到定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于解析几何研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破. 2、在教学中，可以从简单的问题出发，通过问题的提出、问题的拓展、问题的变式等措施，使学生对解析几何最值问题的本质特征有更新、更深的认识，同时激发学生学习的积极性；在教学中，通过学生对一类问题的主动思考、交流互动、反思提炼，构建知识体系，形成基本技能，关注数学本质，体验与感悟问题解决的策略。

【教学目标】

1.能够根据变化中的几何量的关系，建立目标函数，然后利用求函数最值的方法求出某些最值；或者列出关于目标量的不等式求出有关距离的最值，角的最值，面积的最值。．

2.能够比较熟练地应用数形结合的思想，结合曲线的定义和几何性质，用几何法求出某些最值．

3.在问题的提出、分析、解决的过程，进一步形成解析几何最值问题的方法体系和数学思想，形成处理最值问题的基本策略,养成质疑和创新的意识. 【重点难点】

重点：

建立目标函数，运用函数求最值的思想．列出目标量的不等式，解出目标量的范围．解决问题需要重构认知结构，对知识间的联系有新的认识，并在操作中形成技能; 难点：

根据问题的几何意义，运用“数形结合的思想”求解．在具体的最值问题

中，能根据问题的结构有意识地选择几何或代数的策略，并进行具体的操作.

【教学流程】

考点检测-变式训练-合作探究-热点分析-总结反思-课堂练习-及时反馈-布置作业

【教学过程】

解析几何中求一些变量的最值，是一类常见的问题，如何根据这类问题的特点，寻求相应的解题策略是我们本课研究的重点.请大家做一做五个问题.并与同学交流，进行解题后的反思.

一、课前热身：

1、

x2y21椭圆 4

上过点 A（0，1）

引椭圆的任意一条弦 AB. 求：弦长 AB 的最大值。

2、

直线 x+y-3=0 和抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点，在抛物线 AOB 上求一点 C ，使

△ABC 的面积最大。

3、

直线 L 过点 P（2，1），它在两坐标轴上的截距均为正值，若截距之和最小，求 L 的方程。

4、

已知实数x,y满足（x-1）2+(y+2)2=5,求s=x-2y的最值。

5、

在直线 x-y+1=0 上找一点 p ，使 p 点到点A（1，0）， B（3，0）的距离之和最小。

变式训练：在直线 x-y+1=0 上找一点 p ，使 p 点到点 A（1，5）、 B（8，3）的距离之差的绝对值最大。 反思：（1）通过五个问题的解决，你能否总结出解决此类问题的基本策略？体现了怎样的数学思想？（2）你能对每一种策略，总结出明确的操作步骤吗？（3）面对具体问题时如何选择相应的策略，你有了怎样的经验？

设计意图：五个问题入口简单，计算容易，在方法上有回归定义，构造函数，几何论证三角代换等典型方法。让学生先做，一方面是了解学生学***，诊断学生学习中存在的问题；另一方面，通过学生的做，让学生对此类问题及其解法有切身的感受与体验.注重学生在解题后的反思活动，通过相互的交流和表达，对解

决的策略进行反思提炼，并作进一步的明确，是使策略性知识内化的重要过程. 二、热点分析

例1 、求椭圆 x2 /9+ y2/4=1 上点P到直线 L：y=2x-10 的距离的最大值与最小值。

设计意图：解决此类问题，要求学生有结合曲线的几何性质进行转化与化归的能力. 例 2、

已知方程: (x-2)2+y2=3， 求：满足这个方程的实数对（x，y）中，y/x的最值。

例3. 在抛物线y2 = 2x上求一点P, 使P到焦点F与到点A ( 3,2 ) 的距离之和最小

设计意图：例2的目标量是斜率，需要几何意义，转化进行求解.例3目标量是距离。通过交流，了解不同的解法，使学生进一步体会两种策略的灵活运用，提升解题能力．

三、变式训练

22xy

1.变式已知A(2,3),F是椭圆1的右焦点，点M在椭1612

圆上移动，当MA2MF取最小值时，求点M的坐标。 x2y2变式2.已知双曲线1，F为其右焦点，A4,1为定点，45

2 点P为双曲线上的点，求PAPF的最小值.3四、课堂小结：

本节课的学习，你有什么收获？

（1）你认为解决最值问题有哪些策略？（2）每种策略如何操作？（3）这些思想体现了怎样的数学思想？（4）还有其他收获或感想吗？

设计意图：解题后，在教师的引导下学生的自主反思，才能使学生的解题技能提升为策略，并内化成自身的能力. 五、课后作业

（2001年春季高考北京、安徽试题）已知抛物线

，过动点M（a,0）且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，（1）求a的取值范围。（2）若线段AB的垂直平分线交x轴与点N，求

面积的最大值。