习题3.1名师教学实录

《用向量法求空间角》教学设计

教材出版学科

数学

教材名称

选修2-1 社

复习

课题

用向量法求空间角 课型

[知识与能力] 1.理解直线的方向向量；

2.掌握异面直线、直线与平面、平面与平面所成角的概念及角的范围；

3.会建立空间直角坐标系，能用向量法求异面直线的夹角、直线与平面的教

学

目

标

夹角、平面与平面的夹角. [过程与方法] 通过观察空间角的生成过程，空间角与向量夹角的转化过程，使学生体会从空间到平面、从几何到代数的转化认知过程，体会转化的数学思想，方程思想，观察法. [情感、态度与价值观] 培养学生的空间想象能力，转化能力；培养学生的逻辑思维能力，提升逻辑思维品质；让学生感受数学思想和学习数学的乐趣. 教学重点：

教学重点难点

1.异面直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角及相关计算；

2.建立空间直角坐标系，用向量法求空间的角及角的相关计算. 教学难点

异面直线、直线与平面、平面与平面所成角的概念的理解，以及所成角与向量夹角的关系；用向量法求空间角，角的范围的选取. 教学

演示、讲解、

练

习

方法

教学

几何画板课件

、电子白板

资源

教学

复习导入——观察探究——

例题讲解——学生练习——小结、作业

思路

1 人民教育出版社

广河中学鲍留兄

授课人

教学

环节

复

习

回

顾

主 要 内 容

空间的角

（1）

异面直线的夹角（设计意图

） 通过几何画板演示异面直线a,b所成的角,通过度量角、旋转直线OB，改变角度的大小，让学生观察回顾异面直线所成角的范围.

(异面直线) (异面直线所成的角) (转化为向量的夹角) 夹角的计算：. ）

（2）直线与平面所成的角（

通过几何画板画出a与平面所成拖（直线与平面相交）（直线与平面所成角）（线面角与向量夹角互余）

角的过程，动点A在直夹角的计算：

线AB上运动，角相应sinθ=|cos<. 的改变大小，让学生通过（3）

二面角的平面角

观察进一步理解线面角的范围的界定.

（二面角的平面角（））（

平面角的计算: . 通过几何画板软件，旋转平面则平面角相应的变化，让学生通过观察进一步理解面面角）

的范围.

2

导

入

新

课

用向量法解立体几何步骤: （1）建立恰当的空间直角坐标; （2）求出相关点的坐标; （3）写出向量坐标; （4）结合公式进行论证、计算; （5）转化为几何结论. 通过复习向量法解立体几何步骤导入新课，同时让学生掌握解题步骤，为解决问题做准备.

例

题

讲

解

例（2010天津理）如图，在长方体分别是棱BC，上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：A(1)求异面直线EF与(2)证明AF⊥平面中，EF=1：2：4.

应用所学D所成角的余弦值；

ED；

(3)求二面角-ED-F的正弦值. 解析：以A 为坐标原点，AB所在直线为x所在直线为z轴，轴，AD所在直线为y轴，A意有

建立空间直角坐标系(如图所示)，设AB=1，依题D(0,2,0),（1）则有=(0,,1), (0,0,4),E(1,,0),F(1,2,1）

线线角、面面角及与向量夹=(0,2,-4),于是角的转化关系求相关计算. cos<, >==-, 所成角的余弦值

所以异面直线与为.

3

例

题

讲

解

（2）证明：已知 =(1,2,1)=(-1,-,4),

直线与平面垂直转化为平面的法向量与面内的两相交直线所在的向量垂直.

列方程组求法向量的坐标. =(-1,,0),于是•

=-1-3+4=0，

•=-1+1+0=0. ∩因此，AF⊥E，AF⊥ED，又EED=E，

所以AF⊥平面ED. (3)设平面EFD的一个法向量为=(x,y,z),

y+z=0 则 即

,

y=0, 为平面不防令x=1,可得=(1,2,-1).由(2)可知,一个法向量, 于是cos<,>=ED的,从而sin<,>=. 所以二面角二面角

练

习

-ED-F的正弦值为.

（2010陕西理改编）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩应用向量法形,PA⊥平面ABCD，AB=AP=2,BC=,E,F分求线面角、面别是AD,PC的中点. 面角

(1)证明：PC⊥平面BEF; 及相关计算.

(2)求直线BP与平面BEF所成角的大小; (3)求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

4

解：如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的

直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 因为AB=AP=2,BC=,四边形ABCD是矩形，

∴加强理解,提升能力.

练

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,

习

∴=(2,,-2),=(-1,,0), 一个学生在黑板上做练习，其他同学在练习本做，同意订正答案. D(0,,0)P(0,0,2),

又因为点E,F分别为AD,PC的中点，

E(0,,0),F(1,,1), ,1),=(1,0,1).

向量垂(1)因为•=-2+4-2=0,•=2-2=0, ∴⊥,⊥,∴

PC⊥BF,PC⊥EF, 直，回归问题结论，线面垂直，两个垂直，一个相交，缺一不又因为BF∩EF=F, ∴PC⊥平面BEF. (2)由(1)知平面BEF的一个法向量=(2,,-2),=(-2,0,2), 可.

题设有垂直关系，直设直线BP与平面BEF的夹角为θ, 则=∴θ=45°,∴直线BP与平面BEF所成角为45°. (3)由(1)知平面BEF一个法向量=(2,因为PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD, 又因为PA∩AB=A , ∴平面BAP的一个法向量为=(0,设平面BEF与平面BAP的夹角为θ, ,0), ,-2), 接利用，转化为向量.

5

练

习

则=|cos<,>|==)=, 通过观察，二面角为∴θ=45°,∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°

锐角，故选45°.

课

堂

小

1.知识内容：

(1)异面直线所成角θ，（0°<θ≤90°), ; 学生自己总结所学知识、数学思想.提高学生对知识的理解、内化，提(2)直线与平面所成的角θ,(0°≤θ≤90°), sinθ=|cos<; (3)平面与平面所成角θ,（0°≤θ≤180°), . 高学生语言组织及表达能力，提高学习积极性. 结

2.数学思想方法

转化法; 方程思想; 观察法.

作

业

高考专项——立体几何

布

置

用向量法求空间角

板书

1.空间的角 2.例题讲解

设计

（1）异面直线的夹角 （2）直线与平面所成的角 3.课堂练习

（3）平面与平面所成的角 4.小课堂结

及时复习，解决问题，提升能力. 课后

反思

6

高考专项——立体几何 1．（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点。

(1)求证：FH∥平面EDB；

(2)求证：AC平面EDB；

(3)求二面角BDEC的大小。

ADE

Z

F

C

G

Y

BH

2．（2010·辽宁高考理科·Ｔ19）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，X

1PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为2PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

3.

（2010·陕西高考理科·Ｔ１8）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC=22，E，F分别是AD,PC的中点. （Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

4.（2010·重庆高考文科·Ｔ20）如题图，四棱锥PABCD中，

底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB2，

点E是棱PB的中点. （I）证明：AE平面PBC；

（II）若AD1，求二面角BECD的平面角的5.

（2010·江西高考文科·Ｔ２０）

如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角平面MCD平面BCD，AB平面BCD，A余弦值. 形，

AB23.

7 BMDC

（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；

（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.

6.

（2010·四川高考理科·Ｔ18）

已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点. OM为异面直线AA和BD的公垂线；（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求二面角MBCB的大小；

（Ⅲ）求三棱锥MOBC的体积.

7（2017全国II）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，ABBC1AD,BADABC90o,

E是PD的中点. 2（1）证明：直线CE//

平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底所成锐角为45o

，求二面角M-AB-D的余

面ABCD弦值

8