1.2.1 充要条件教学设计(第一课时)

1.2.1

充分条件与必要条件

[学习目标]

1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.

知识点

充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系. (2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q. (3)“若p，则q”为假命题时，记作“pD⇒/q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. [思考]

(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？

(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？

答案

(1)充分条件

(2)必要条件

题型一

充分条件、必要条件

例1

给出下列四组命题：

(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；

(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；

(4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件. 解

(1)∵两个三角形相似⇒两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，

∴p是q的必要不充分条件. (2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，

而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇒p. ∴p是q的充分不必要条件.

(3)∵p⇒q，且q⇒p，

∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件. (4)∵p⇒q，且q⇒p，

∴p是q的既不充分也不必要条件. 反思与感悟

本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 跟踪训练1

指出下列哪些命题中p是q的充分条件？

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC >AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (4)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0. 解

(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠A>∠B⇒BC>AC，

所以p是q的充分条件. (2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，

所以由x＋y≠8⇒x≠2或x≠6，

故p是q的充分条件. (3)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，

则sin A>sin B，但tan A

故p⇒q，故p不是q的充分条件. (4)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，

故p是q的充分条件. 故(1)(2)(4)命题中p是q的充分条件. 题型二

充分条件、必要条件与集合的关系

例2

是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 解

由x2－x－2>0解得x>2或x<－1，

令A＝{x|x>2或x<－1}，

p由4x＋p<0，得B＝{x|x<－}，

4p当B⊆A时，即－≤－1，即p≥4，

4p此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

4∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件.

反思与感悟

(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；若p是q的充分不必要条件，则AB. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值. 跟踪训练2

已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围. 解

由(x－a)2<1得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，

∴a－1

a－1≥－3，∴

a＋1≤8，

解得－2≤a≤7. 故a的取值范围是－2≤a≤7.

根据必要条件(充分条件)求参数的范围

例3

已知P＝{x|a－4

因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. a－4<1，a<5，所以即

a＋4>3，a>－1，

所以－1

错误的根本原因是忽视了集合中的不等式的等号，实际上本题中的不等式中的等a－4≤1，号能取到，即

a＋4≥3.

正解

因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，

a－4≤1，a≤5，所以即

a＋4≥3，a≥－1，

所以－1≤a≤5. 答案

[－1,5]

1.“－21或x<－1”的(

) A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.既不是充分条件，也不是必要条件

D.既是充分条件，也是必要条件

答案

C 解析

∵－21或x<－1，且x>1或x<－1D⇒－21或x<－1”的既不充分也不必要条件. 2.“a>b”是“a>|b|”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既是充分条件，也是必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

B 解析

由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|. 3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(

) A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件

D.无法判断

答案

A 解析

当a＝1时，|a|＝1成立，

但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立. ∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件. 4.“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既充分也必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

C 解析

f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，1即a＝0或<0，也就是a≤0，“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”a的即充分也必要条件.故选C.

5.若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围. 解

由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，

由已知条件，知{x|x2或x<1}. ∴m≤1.

1.充分条件、必要条件的判断方法：

(1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.

一、选择题

1.若α∈R，则“α＝0”是“sin α

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既充分也必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

A 解析

由α＝0可以推出sin α

所以“α＝0”是“sin α

由sin α

所以“α＝0”不是“sin α

) A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.既是充分条件，也是必要条件

D.既不是充分条件，也不是必要条件

答案

C 解析

ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0.故选C. 3.已知向量a＝(m2,4)，b＝(1,1)，则“m＝－2”是“a∥b”的(

) A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.既充分也必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

A 解析

当m＝－2时，a＝(4,4)，b＝(1,1)，∴a∥b，

当a∥b时，m2＝4，m＝±2，故选A. 4.一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(

) A.a<0

B.a>0

C.a<－1

D.a<1 答案

C 解析

∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根. Δ>0，∴即1x1x2<0，<0.

4－4a>0，a

⇔a<0. 本题要求的是充分不必要条件，由于{a|a<－1}{a|a<0}，故选C. 5.已知p：α≠β，q：cos α≠cos β，则p是q的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既充分也必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

B 解析

q⇒p成立，但p⇒/

q，∴p是q的必要不充分条件. 6.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既充分也必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

A 解析

x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，可知点(0,2)在此区域内，此时x＝0<2.即x≥2且y≥2时可以推出x2＋y2≥4；x2＋y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.故A正确. 7.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(

) A.x＋y＝2

B.x＋y>2 C.x2＋y2>2

D.xy>1

答案

B 解析

对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意. 二、填空题

8.在△ABC中，B＝60°是A，B，C成等差数列的________条件. 答案

既充分也必要

解析

若B＝60°，则由三角形内角和为180°，

知A＋C＝2B，即A，B，C成等差数列. 若A，B，C成等差数列，则2B＝A＋C，

即B＝60°.故填既充分也必要. 9.“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件. 答案

必要

解析

令a＝b＝c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不能成等比数列，当a，b，c成等比数列时满足b2＝ac.故填必要条件. 10.不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2

a>2 解析

根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)

{x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2. 11.设α、β、γ为不同平面，m、n、l为不同直线，则对于下列条件：

①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；

③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α. 其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上). 答案

②④

解析

α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β⇒m⊥β，②正确；n⊥α，n⊥β，m⊥α⇒m⊥β，④正确. π12.设0

必要不充分

π解析

因为01，因此充分性不成立. sin xsin x三、解答题

13.已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件.求实数a的取值范围.

1解

令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≤－或x≥2}；

2N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，

由已知p⇒q，且q⇒/p，得MN. 11a－2>－2，a－2≥－2，333所以或⇔≤a＜2或