5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切板书设计及设计说明

第五章

三角比

5.4（1）两角和与差的正、余弦公式

一、教学目标： 1.

知识与技能：掌握两角和与差的余弦公式，并能从正反两面运用公式解决问题．

2.

过程与方法：让全体学生能理解“先猜后证”、“从特殊到一般”的常用探究步骤；在两角和的余弦公式探究过程中能体会以退求进、割补思想、观察联想等数学思想和思维方法；体会到数学思维的合理性与条理性．

3.

情感、态度、价值观：能感受到公式的对称美；能体验乐于思考和主动探究的精神，并有愉悦的情感体验；能体会到每一种数学知识的发现、与证法都是一种伟大的创新。

二、教学重点和难点：

1.

教学重点：两角和的余弦公式的推导与证明；

2.

教学难点：两角和与差的余弦公式的运用；

三、教学过程： （一）提出问题

)sin，cos(2)cos，sin()sin，[问题1]：观察诱导公式sin(2cos()cos．我们会发现：当角变成或者2时，其正弦、余弦的三角函数值都与角的正弦、余弦有关，那大家有没有想过当角变成2或者4乃至更一般的时，其正弦、余弦与、的正弦、余弦又有怎样的联系呢？

（二）探究问题

1．明确探究的思路与步骤 [问题2]：我们应该用怎样的思路和方法进行探究？

学生可能会说：把探究分为两个步骤，一是探求表示结果；二是对结果的正确性加以证明．

2．猜想结果

若有学生提出sinsinsin,coscoscos，则引导学生取特殊值进行验证。错误的原因：正弦、余弦函数名与角之间并不是相乘关系，因此类比乘法分配律在思维方法上是错误的．

引导学生以退求进，先讨论、、都是锐角情况．

[问题3]：当、、都是锐角时，我们又该怎么办？

引导学生在直角三角形或单位圆中构造这些角进行讨论．

[问题4]：怎样用、的三角函数线来表示sin，cos?

引导学生构造如下直角三角形，并用割、补的方法得到

sinMCCP1BACP1sincoscossin，

cosOBMBOBCAcoscossinsin

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第五章

三角比

[问题5]：那上面两个式子是否能推广到对任意角、都成立呢？

3．证明结果

联系对任意角的推广方法，将模型引入到平面直角坐标平面内，利用两点间距离公式即解析法去证明。

[问题6]：刚才我们经历了完整、曲折的探索过程，回顾来看，大家有什么启发和感悟？

引导学生从探究思路、数学思想方法等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展，突出“先猜后证”以及“从特殊到一般”．

[问题7]：书上用相同的方法证明了两角差的余弦公式，能否从代数方法直接得到？

令为，则coscoscoscossinsin

coscoscossinsin

[问题8]两角和与差的余弦公式有什么特点？

引导学生总结公式的特点：左边是两角和（差）的余弦，右边同名三角函数的积的差（和）．

(三)巩固应用

例1 利用和差角的余弦公式求cos15与cos75的值．

[巩固练习]求值：

(1)cos15cos105sin15sin105

．

(2)cos21cos84sin21sin84

．

例2 本节课开始所设的问题：sin

，cos

22sincos2cossin2tancot2cottan2导出第五组诱导公式：

第六组诱导公式：

sincos2cossin2tancot2cottan2

例3 已知sin

35,,,cos,,0，求cos,cos的值．

51322416例4.若、为锐角，且cos,cos(),求cos的值。

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第五章

三角比

变式训练：

1.已知

43123，且cos(),sin(),求cos2的值。

41352. 已知cos

152，求cossin的值. 6363(四)回顾小结

1．学生小结：

引导学生从学到了什么知识、怎么获得这些知识和有什么感悟与体会三方面进行小结．

2．教师小结：

(1)本节课所走过的路：

sin?提出问题cos?猜想，举反例推翻猜想，并分析猜想不成立原因探究结果以退求进，从、、都是锐角开始研究特殊值验证，确认猜想

探究问题

证明结果联系任意角的推广，展开联想通过数形结合得到证明思路sinsincoscossin的证明仍未解决的问题sin?(2)两位数学大家的名言很好地概括了本节课的探究思路与学习感悟：

G·波利亚：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理；在你搞清证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想．” 高斯所说：“一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的．假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会作出同样的发现．”

衷心祝愿大家通过数学学习变得更加聪明、更加富有创造力．

四、设计意图及思考：

宗旨：让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，从而达到“教思维”的目的．

由于教材直接提出两角和与差，回避了为什么要先研究这个问题、怎样想到先研究这个问题，因此研究和思维的切入点作了调整，将教学重心前移，强化了公式的发现和证明的过程．力求将整节课聚焦于问题的提出、猜想的发现、证明思路的探讨，强化了学生对数学思想方法和思维方式的感悟。

对于所探究公式的选择，出于可能更习惯于先想到和角，因而选择了与教材不同的对象来作尝试。另外，由于上海教材的编排体系，向量在后，因而依然不能很好的解释为什么要先研究和差角的余弦，只得予以回避。

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