习题2.4教学设计(教案)

第二章

2.4.1 抛物线及其标准方程

湖南省临澧县第一中学

高二数学组

林祖成

【学习目标】

1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念；

2.掌握抛物线的标准方程及其推导；

3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.

【情景引入】

生活中存在着各种形式的抛物线

【探究新知】

探究一

抛物线的定义

问题一：在初中，我们学习了二次函数yaxbxc，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）y4x，（2）y4x的图象：

222

思考：动点满足什么条件时，动点运动的轨迹是抛物线？

l是不经过点F的定直线，问题二:如上图右,点F是定点，H是l上任意一点，过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.．拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 概念的理解：

定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).

探究二

探求抛物线的标准方程

问题三:求曲线方程的基本步骤是怎样的？

建系→设点→列式→化简→检验

思考：如何建立适当的直角坐标系？抛物线的标准方程如何推导？

问题四:在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请你完成下面的表格.

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y22px(p0)

p(,0)

2xp

2

理解新知：（1）__________________________________________________________ （2）___________________________________________________________________ （3）___________________________________________________________________ 【理论迁移】

题型一、抛物线标准方程、相关量的求解

例1．（1）已知抛物线的标准方程是y26x，则它的焦点坐标和准线方程是__________ （2）已知二次函数yax2，则它的焦点坐标和准线方程是_______________ （3）若直线axy10经过抛物线y24x的焦点,则实数a__________. 例2．求满足下列条件的抛物线的标准方程

（1）焦点是F0,2

（2）点3,2

（3）焦点在x2y40上

题型二、抛物线定义的理解与应用、轨迹问题

例3．（1）抛物线y2px(p0)上一点

M点的横坐标x0，则点

M到焦点的距离是 ． （2）抛物线

y12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ．

（3）M(m,4)在抛物线

xay上, M与焦点的距离等于5，则抛物线的标准方程_____

例4．点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小1，求动点M的轨迹方程.

[变式1]若动圆M与圆C:(x2)y1外切,又与直线l:x10相切,则动圆圆心的轨迹方程是(

) Ay8x

B.

y8x

C.

y4x

D.

y4x

22[变式2]动点M(x,y)的坐标满足方程5xy|3x4y12|，则动点M的轨迹是（

）

222222222A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.以上都不对

题型三、抛物线中的最值问题

例5．已知点M抛物线y24x上的动点,点A(3,2),F(1,0)，求|MA||MF|的最小值以及取最小值是M的坐标.

[变式1]A(7,8)，M到准线距离为d1，求|MA|d1的最小值

[变式2]A(7,8)，M到y轴距离为d2，求|MA|d2的最小值

2[变式3]已知点M抛物线y4x上的动点,点M到直线yx4距离d3，点M到y轴距离为d4,求d3d4的最小值

例6．已知点M抛物线y4x上的动点,A(3,0)，求|MA|的最小值.

[变式1] 已知点M抛物线y4x上的动点,,动点Q在圆(x3)y1上运动，求|MQ|的最小值.

2[变式2] 已知点M抛物线y4x上的动点,求点M到直线yx4距离d的最小值. 2222

因为抛物线的焦点在y轴的负半轴，且p2,p4

2所以，所求的抛物线的标准方程为x28y

焦点坐标是(,0)，准线方程是x方程化为x

2323

2111y，焦点坐标是(0,)，准线方程是y

a4a4ap (x0,y0)

2