复习参考题公开课教学设计模版

空间向量应用中一些需要注意的细节示例

2017年11月

【示例1】在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．

z(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的正弦值；

(0,0,4)D1C1(2)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；

O(2,2,4)(3)求点P到平面ABD1的距离．

A1B1(1)如图建系．

H→∵AP＝(－4,4,1)，面BCC1B1的法向量为n＝(0,1,0)，

→AP•n433→∴cos＜AP,n＞＝＝，

→33|AP|•|n|433∴AP与面BCC1B1所成角的正弦值为．

33→→(2)∵D1A＝(4,0,－4)，D1P＝(0,4,－3)，

→→→设D1H＝λD1A＋μD1P＝(4λ,4μ,－4λ－3μ)，

→→→则DH＝DD1＋D1H＝(4λ,4μ,4－4λ－3μ)，

→→→∴OH＝DH－DO＝(4λ－2,4μ－2,－4λ－3μ)，

∵OH⊥面D1AP，

→→λ＝OH•D1A＝08λ＋3μ－2＝082∴→→10，

6λ－8μ＋1＝0OH•D1P＝0μ＝412640562640108→∴D1H＝(,,－)，H(,,)，

414141414141→→→又AP＝(－4,4,1)，∴D1H•AP＝0，∴D1H⊥AP．

→→(3)∵D1A＝(4,0,－4)，AB＝(0,4,0)，

设面ABD1的法向量为m＝(x,y,z)，则

→m•D1A＝04x－4z＝0→，取m＝(1,0,1)，

4y＝0m•AB＝0→又AP＝(－4,4,1)，

→|AP•m|32∴P到面ABD1的距离为d＝＝．

2|m|1

D(4,0,0)AxP(0,4,1)yCB(4,4,0)☆向量法求线面所成角

θ为方向向量为a的直线a与

法向量为n的平面的所成角，

|n•a|则sinθ＝|cos|＝

|n|•|a|13☆平面上点的待定坐标的确定

方法一(1)利用平面向量基本定理和向量加减法写出点的坐标的待定形式；

(2)由条件列出待定系数的方程；

(3)解方程求系数值，写出点的坐标. 方法二(1)设所求点P的三维坐标，

即P(x,y,z)；

(2)由条件列出x,y,z的方程，解方程即得. ☆向量法求点到面的距离

点A到法向量为n的平面α的

→|AB•n|距离为d＝，其中B∈α。

|n|

【示例2】如图，已知四棱锥

P－BCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，z侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．

3(1)求点P到平面ABCD的距离；

(0,0,P2)(2)求面APB与面CPB所成二面角的余弦值．

33333(1)解：如图，取AD中点E，连接BE、PE，

(－2,C2,0)F(0,4,4)过P作PO⊥BE于O．

yED33O∵PAD为边长等于2的正三角形，

B(0,2,0)3A(1,2,0)∴PE＝3，PE⊥AD．又∵AD⊥PB，

x∴AD⊥面PBEAD⊥BE，AD⊥PO．

∴PO⊥面ABCD，

☆找、作条件创建空间直角坐标系

∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，

(1)在直观图中找三条相交且两两互∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°，

相垂直的棱作为坐标轴建系；

∴PO＝PE·sin60°＝3×33＝，

22(2)若无(1)中条件，一是找线面垂直，将该线和面内作出适当的垂直两线作为坐标轴建系；二是在某面内找互相垂直的两线和过交点作面的垂线作为坐标轴建系；

(3)若无(1)、(2)中条件，常通过作线面垂直去实现建立坐标系. 3即点P到平面ABCD的距离为．

2(2)［方法一］设PB的中点为F，如图建系．

则

333→33→→BP＝(0,－,)，AF＝(－1,,)，CB＝(2,0,0)，

2244→→→→∴AF•BP＝0，CB•BP＝0，即AF⊥BP，CB⊥BP，

→→∴＜AF,CB＞是A－PB－C的平面角．

→→AF•CB27→→∴cos＜AF,CB＞＝＝－．

→→7|AF|•|CB|333→→［方法二］如图建系．则BP＝(0,－,)，BA＝(1,－3,0)，

22设面PAB的法向量为n＝(x,y,z)，则

→－33y＋3z＝0n•BP＝02→2，取n＝(3,1,3)，

n•BA＝0x－3y＝0333→→又BP＝(0,－,)，CB＝(2,0,0)，

22设面PBC的法向量为m＝(x,y,z)，则

→－33y＋3z＝0m•BP＝02→2，取m＝(0,1,3)，

m•CB＝02x＝0m•n27∴cos＜m，n＞＝＝．

7|m|•|n|27∴面APB与面CPB所成二面角的余弦值为－．

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☆向量法二面角

在内a⊥l，在内b⊥l，其方向一

致，则二面角─l─的平面角θ满足

a•bcosθ＝cos＜a,b＞＝．

|a|•|b|☆向量法求二面角

θ为法向量为n的平面与法向量为m的平面的所成角，

|n•m|则|cosθ|＝|cos|＝

|n|•|m|＂同内同外，θ与<m,n>互补；一内一外，θ与<m,n>相等＂．

☆平面法向量方向的确定

方法一：观察法．将法向量的起点移至对应二面角的半平面上，观察其方向；

方法二：数量识法．在两半平面内各取一点作为某向量a的始末点，通过法向量与的数量积的符号确定法向量的方向；

即P(x,y,z)；

方法三：外积中「右手定则」法．

【练习1】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．

(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；

(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？

若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．

解：(1)如图建系．则

→1→EN＝(,0,1)，AM＝(－1,0,1)，

2→→EN•AM10→→∴cos＜EN,AM＞＝＝，

→→10|EN|•|AM|∴NE与AM所成角的余弦值为10．

10☆写向量坐标应考虑的一些细节

(1)坐标中维的负数尽可能少；

(2)求平面法向量时，在平面内选择不共线两向量，尽可能做到选①维中有零的坐标，②不含参的坐标；

☆向量法求线线所成角

θ为方向向量分别为a、b的异面直线a、b所成角，则

|a•b|cosθ＝|cos|＝

|a|•|b|(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN．

→→→∵AN＝(0,1,1)，可设AS＝λAN＝(0,λ,λ)，则

→→→1ES＝EA＋AS＝(,λ－1,λ)．

2由ES⊥平面AMN，得

→→ESλ－1＝0•AM＝01→→2λ＝．

22λ－1＝0ES•AN＝0112→→此时AS＝(0,,)，|AS|＝．

222☆直线上点的待定坐标的确定

方法一(1)利用向量共线定理和向量加减2故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝．

法写出点的坐标的待定形式；

2(2)由条件列出待定系数的方程；

(3)解方程求系数值，写出点的坐标. 方法二(1)设所求点P的三维坐标，

即P(x,y,z)；

【练习2】如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，

由条件列出x,y,z的方程，解方程即得. (2)E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．

(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；

zC1A1B1(0,0,4)(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．

A1解：(1)如图建系．当CF＝1时，有

→F(0,4,1)，∴EF＝(－3,1,1)，

→→→又A1C＝(0,4,－4)，∴EF•A1C＝0，故EF⊥A1C．

(2)设CF＝λ(0＜λ≤4)，则F(0,4,λ)，

设面AEF的法向量为m＝(x,y,z)，

3

B1FAxB(2C(0,4,0)AE(3,3,0)yC1FECB3,2,0)

→→∵AE＝(3,3,0)，AF＝(0,4,λ)，

→m•AE＝03x＋3y＝0由→，取m＝(3λ,－λ,4)，

m•AF＝04y＋λz＝0又面ACF的一个法向为n＝(1,0,0)，

m•n3λ∴cosθ＝cos＜m，n＞＝＝．

4λ2＋16|m|•|n|∴tanθ＝116＋，

33λ2☆找、作条件创建空间直角坐标系

(1)在直观图中找三条相交且两两互相垂直的棱作为坐标轴建系；

(2)若无(1)中条件，找线面垂直，将该线和面内作出适当的垂直两线作为坐标轴建系

这里的m、n的方向是指向二面角内，还是其外？

6．

3∵0＜λ≤4，∴当λ＝4，即F与C1重合时，tanθ取得最小值π【练习3】如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F3为PC的中点，AF⊥PB．

(1)求PA的长；(2)求二面角B－AF－D的正弦值．

解：(1)设BD∩AC＝O，

π∵BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝，

3∴AC⊥BD，OB＝OD＝3，OC＝1，

又AC＝4，∴OA＝AC－OC＝3，

设PA＝2t，如图建系．则

P(0,－3,2t)，∴F(0,－1,t)，

→→∴AF＝(0,2,t)，PB＝(3,3,－2t)，

→→∵AF⊥PB，∴AF•PB＝0t＝3或t＝－3(舍)，

∴PA＝23．

→→→(2)由(1)知AF＝(0,2,3)，AD＝(－3,3,0)，AB＝(3,3,0)，

设面ADF的法向量为m＝(x,y,z)，

→2y＋3z＝0m•AF＝0则由，取m＝(3,3,－2)，

→－3x＋3y＝0m•AD＝0设面ABF的法向量为n＝(x,y,z)，

→2y＋3z＝0n•AF＝0则由→，取n＝(3,－3,2)，

3x＋3y＝0n•AB＝0m•n137∴cos＜m,n＞＝＝，故二面角B－AF－D的正弦值为．

8|m|•|n|84

PzFD(－3,0,0)C(0,1,0)OyB(3,0,0)x☆找、作条件创建空间直角坐标系

(1)在直观图中找三条相交且两两互相垂直的棱作为坐标轴建系；

(2)若无(1)中条件，在某面内找互相垂直的两线和过交点作面的垂线作为坐标轴建系. (0,－3,0)A这里的m、n的方向是指向二面角内，还是其外？