习题3.1优质公开课教案

《空间向量及其运算》（习题）教案

古浪县第五中学

张树鹏

教学目标： 知识与技能：回顾空间向量及其运算基本知识要点，构建知识网络

体系，总结理顺本节基本题型，探讨解题策略，渗透数思想。

过程与方法：经历知识建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括数学题型的能力。通过实际应用，培养学生解决数学问题策略能力和学以致用的数学应用意识。

情感、态度与价值观：通过创设情境激发学生学习数学的情感，在学习中分析问题，在解决问题的过程中培养学生积极探索的精神。

教学重点：

（1）掌握空间向量习题基本类型，掌握解决习题的基本策略。

（2）探讨本节习题解决的途径方法，渗透数学习题解答的数学思想。

（3）领悟体会数学中的数形结合思想和转化化归思想。

教学难点：解题策略与解题思想的领悟体会。

教学方法；互动探究、讲练结合法

教学过程

一、课前导入

乔治波利亚（George Polya 1887-1985），美籍匈牙利著名数学家。历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。

曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》

等，都被译成多种文字，广为流传。

他认为——掌握数学意味着善于解题，解题的价值不是答案本身，而在于弄清“是怎样想到这样去做的？”

二、问题提出

问题1；你知道本小节知识要点是什么？

问题2：你认为解决这些题型的策略是什么？

问题3：根据你的理解，你认为渗透于本节习题中的数学思想哪些？

三、知识要点回顾

1.向量定义

在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或

模 (要点提升：向量具有双重性）

A1A2A2A3A3A4An1An

OBOABC

(要点提升：向量的加、减数乘线性运算主要是对向量进行分解、合成与转换）

2.向量数量积

（要点提升：向量数量积主要实现将线段向量化、求线段长度与夹角转化向量来解决）

3.向量的坐标运算

向量和

向量差

数量积

共线

垂直

夹角公式

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝

a－b＝

a·b＝

a∥b⇒

(λ∈R，b≠0) a⊥b⇔

cos〈a，b〉＝

（要点提升：向量坐标运算主要实现运用代数的方法解决几何问题，渗透数形结合思想）

4．共线（平行）向量：

存在实数，使ab（唯一）．

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化

laPBA为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

当t时，点P是线段AB的中点，

此时OP(OAOB)③

O1212

①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式

5.共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MPxMAxMA

yy或M对空间任一点O，有OPOM（要点提升：利用共线、共面向量定理重点解决三点共线与四点共面问题）

四、典例分析

1.判断以下命题真假

①若|a|=|b|则向量a=b （ ）

②|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件

（ ）

③若A.B.C.D是不共线的四点，则

是四边形ABCD是平行四边形的充要条件 （ ）

分析：①.通过本题使学生掌握向量概念的本质内含，也就是向

量的双重性，它既有代数运算特征，有具有几何空间特征。

②.其次本题中有命题中的“条件”概念的区别与联系，两种命题之间的关系运用。

解答指导：1.错误2.正确3.正确

例2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与BM向量相等的是(

) 1111A．－a＋b＋c

B.a＋b＋c 22221111C．－a－b＋c D.a－b＋c 2222分析：将向量BM分解为BB1+B1M向量，向量加减，可得为A

变式练习：

例3.已知在平行六面体

ABCD－A1B1C1D1 AB=4 AD=3,AA1=5,∠BAD=900∠BAA1=∠DAA1=600

求对角线AC长。

|AC|2(ABADAA)2|AB|2|AD|2|AA|22(ABADABAAADAA)4232522(0107.5)85

D'C'A'B'DCAB

方法小结

正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则。 以图形为指导是解题的关键，要灵活应用三角形法则，平行四边形法则，用已知向量来表示未知向量，将未知向量分解和重组，渗透转化数学思想。

典例引入

例4.如图，在直三棱柱A1B1C1—ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC 的中点 求异面直线A1B 与C1D 所成角的 余弦值；

分析：

A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，

D(1，1，0)，A1(0，0，4) ，C1(0，2，4)，

C1D＝(1，－1，－4).

A1B

＝(2，0，－4)，18310∴ cosß＝＝，

1020×18方法小结：恰当建系，充分利用向量坐标法与向量数量积。将空间几何中线线位置关系、线面位置、面面夹角等问题转化为代数运算式进行解决。利用空间向量坐标法是解决空间线面问题的重要策略。

例5．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP122OAOBOC，

555试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：5OPOA2OB2OC，

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

分析； 共面向量定理得 OPOMxMAyMB

因x+y+z=0所以P、A、B、C共面

方法小结：利用共线、共面向量定理重点解决三点共线、四点共面问题

五、课堂练习

1.

已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。

2.

如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．

求证：MN⊥AB；

六、课堂总结 向量的本质属性是几何与代数的双重性，它是架起数与形的天然桥梁，是解决数学问题强有力的工具。通过向量法可把复杂的分析、推理证明转化为空间向量的代数运算，降低了空间想象和演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想与数形结合思想．

七、作业布置

1.整理听课笔记

2.完成配套练习

3.搜集用向量法解决线线夹角试题

课后寄语 每一个成功者都有一个开始.聚焦目标、勇于开始，且坚持到底才能成功。

教后反思

空间向量及其运算是利用空间向量知识解决空间线线、线面、面面问题的基础，学生对基础掌握比较牢固，能恰当建立空间直角坐标系，将几何问题转变为代数运算进行。但学生对共线、共面问题需要进一步加强。