小结第二课时教学设计

高2019级数学组高二（上）教研课

授课人：文雯

《用向量法解决立体几何中的探究性问题》 1，课程背景：本课是在学习了选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的基础上，对知识的一次再探究和升华。利用对前面作业的一个再回顾，让学生在已有集合法证明问题的情境下，感受用向量法证明探究性问题的异同和优势，从而巩固向量法解几何问题的方法步骤。

2，教学目标

知识与技能目标：

（1）了解用向量法解决探究问题的过程；

（3）能利用向量法解决探究问题； 过程与方法目标：

（1）经历利用向量的坐标将几何问题代数化的过程；

（2）体会转化、化归思想；

情感态度价值观目标：

通过空间向量在立体几何中的的应用，感受数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。

3，教学重难点

重点：用向量探究问题的方法；

难点：如何让设点，如何让转化。

4：教学过程：

引言：立体几何中的探究性问题既能够考查我们的空间想象能力，又可以考查我们的意志力及探究的能力．探究是一种科学的精神，因此，也是命题的热点．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．

例一：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱AA1上任意一点，不论P在侧棱上任何位置，是否总有BD⊥CP？说明你的理由；

+

传统方法： +

分析：对于这个探索性问题我们着重点放在，无论P在什么位置都有CP垂直BD,所以想到是否是去证明线面垂直问题，猜测CP垂直

面PAC,然后去证明。 +

解：因为PA 垂直面ABCD +

所以直线PC在平面ABCD的射影为AC, +

又因为AC 垂直 BD,所以无论点P在什么位置 +

PC垂直 BD •

向量法： •

以DA,DC,DD1 分别为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系，设正四棱柱底面边长为a, 1

•

•

•

•

•

•

侧棱长为b 所以D(0,0,0)，B(a,a,o) P(a,o,z),C(0,a,0) 所以无论点P在什么位置 DB垂直 PC 小结：从上面的例题所用的两种不同的方法，我们很容易知道若用传统的几何证明的方法求这类探索性问题，需要猜测、寻找适合条件的点，然后证明，思维上造成困难，而用空间向量只要设出变量

，就可利用向量运算解决很久以来的我们的难点和困惑。

如图８－１，在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B1 C1 D1中，P 是侧棱 CC1上的一点， CP=m （１）试确定m ，使直线AP 与平面 BB1 D 1D所成角的正切值为3倍根号2 ；

（２）在线段 A 1C 1上是否存在一个定点 Q，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论．

D1

C1

A1

B1

D

C

A

B

图８－１

+

以DA ,DC,DD1为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系D-XYZ +

则A( 1,0,0)B(1,1,0)P(0,1,m)C(0,1,0)D(0,0,0)B1 (1,1,1)D 1 (0,0,1) BD(1,1,0),BB1(0,0,1),AP(1,1,m),AC(1,1,0)+

所以 ACBD0,ACBB0AC为面BBDD的法向量，设AP与平面BBDD所成的角为11111

APAC2

sinAPAC22m2

又

tan321解得m= 此时AP于平面BB1 D1 D的

正切值为 323+

2）如在A 1C1

存在这样的点Q，设Q(x,1-x,1) D1Q(x,1x,0)+

依题意，对任意的m要使D 1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D 1 Q AP APD1Q0+

所以 +

所以-X+(1+X)=0 解得X=1/2，即Q为A1 C1

中点时，满足题设条件

[规律小结] 2

+

探究性问题一般具有一定的深度，需要深入分析题目的条件和所问，根据题目的特征，选用适当的解题方法．必要时，进行假设推理，或者反证推理，往往也是进行图形推理与代数推理的典型问题 +

课后练习,已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O 落在正方形ABCD内，且O 到AB、AD的距离分别为2，1 +

（1）求证：AB·SC是定值

+

（2）已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，使异面直线OP0与BQ所成角为90？若不存在，说明理由，若存在，求出AQ的长。

课堂小结：用向量方法解决探究问题的优势

作业：《作业》82页12题，83页11题，85页15题

板书设计：

课题

例1

例3

问题

例2

课后记：

3