3.1.3 导数的几何意义教学设计思路

学习目标：理解导数的概念并会运用概念求导数。

学习重点：导数的概念以及求导数

学习难点：导数的概念

教学过程：

一、导入新课：

上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。

二、新授课：

1.设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数Yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比yy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个xxxx0极限值叫做函数yf(x)在xx0处的导数，记作y/，即

f/(x0)limx0f(x0x)f(x0)x【来源：全品…中&高*考*网】

注：1.函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。

3.y是函数yf(x)对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是x过曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）及点(x0x,f(x0x)）的割线斜率。

4.导数f/(x0)limx0f(x0x)f(x0)是函数yf(x)在点x0的处瞬时变化x

率，它反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为yf(x0)f/(x0)(xx0)。

5.导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在x0及其附近的函数值有关，与x无关。

6.在定义式中，设xx0x，则xxx0，当x趋近于0时，x趋近于x0，因此，导数的定义式可写成

f/(x0)limxof(x0x)f(x0)f(x)f(x0)lim。

xx0xxx07.若极限limx0f(x0x)f(x0)不存在，则称函数yf(x)在点x0处不可导。

x8.若f(x)在x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线存在。反之不然，若曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线，函数yf(x)在x0不一定可导，并且，若函数yf(x)在x0不可导，曲线在点（x0,f(x0)）也可能有切线。

一般地，x0lim(abx)a，其中a,b为常数。

特别地，limaa。

x0如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x)。称这个函数f/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y/，即

f/(x)＝y/＝limyf(xx)f(x)

limx0xx0xxx0函数yf(x)在x0处的导数y/就是函数yf(x)在开区间

(a,b)(x(a,b))上导数f/(x)在x0处的函数值，即y/yf(x)在x0处的导数也记作f/(x0)。

xx0＝f/(x0)。所以函数注：1.如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f/(x)在点x0的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的x0换成x就可，即f/(x)＝x0limf(xx)f(x)

x4.由导数的定义可知，求函数yf(x)的导数的一般方法是：

（1）.求函数的改变量yf(xx)f(x)。

yf(xx)f(x)。

xxy（3）.取极限，得导数y/＝lim。

x0x（2）.求平均变化率5．集合意义：一般地，已知函数yf(x)的图象是曲线C，P（x0,y0），Q（x0x,y0y）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.

当点Q沿着曲线无限接近点P，即x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.

y无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当xxy趋向于0时，割线PQ的斜率kPQ的极限为k.即函数yf(x)在x0处的导数x此时，割线PQ的斜率kPQ就是曲线C在P（x0,y0）处的切线的斜率。

三

例题讲析

例1.求y2x21在x＝－3处的导数。

例3 判断曲线y2x2在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

四

小结：

理解导数的概念并会运用概念求导数。

五

练习与作业：【来源：全品…中&高*考*网】

1.求下列函数的导数：

（1）y3x4；

（2）y12x

(3)y3x212x

(3)y5x3

2.求函数yx21在－1,0，

1处导数。

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5.求函数yx22x在－2,0，2处的导数。

6.

判断曲线y高*考*网】121x在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.22【来源：全品…中&