习题2.3教学实录

2.3.2 双曲线的简单几何性质

1 教学目标

掌握双曲线的简单几何性质

2 学情分析

双曲线是高中阶段非常重要的一种圆锥曲线，需要学生较好掌握，因此在教学过程中,尽量给学生以直观感受，如看相关双曲线几何性质的图片或看有关音乐视频等，更便于学生理解。

处于这一阶段的学生，对双曲线的定义掌握较好，但对双曲线的几何性质比较陌生。

3 重点难点

运用双曲线标准方程剖析双曲线性质。

4 教学过程

教学目标

知识与技能：了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质。

过程与方法：让学生从观察中分析归纳出双曲线的几何性质，培养学生将形象思维转化为抽象思维的能力、归纳概括能力，在研究几何性质的过程中，进一步掌握解析几何的基本思想。

情感、态度与价值观：培养学生变换的数学观点和探索能力；运用代数手段剖析几何图形，让学生感受数学在日常生活中的作用。

教学重点

双曲线的渐近线和双曲线的离心率。

学时难点

双曲线的渐近线和双曲线的离心率。

教学活动

【活动】1.复习引入

首先用多媒体为学生播放我制作的视频，优美的双曲线图片伴着优美的校园歌曲《悲伤的双曲线》，动听的旋律响起，一下就吸引了学生的注意，看着歌词欣赏完歌曲，学生看着双曲线，自然而然的进入了这节课的内容。

然后用多媒体显示本节课的学习目标。

【活动】2.观察、类比

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，首先观察双曲线的形状，试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。一般学生能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只会看图，也要会从方程的角度来解释，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线的简单几何性质范围、对称性、顶点(实轴、虚轴)、离心率(不深入的讲解)的巩固。之后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别，这样可以加强新旧知识的联系，借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。

【活动】3.双曲线的渐近线的发现、证明

(1)发现

由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，能否较准确地画出双曲线的图形为引例，让学生动笔实践，通过列表描点，就能把双曲线的顶点及附近的点较准确地画出来，但双曲线向远处如何伸展就不是很清楚。从而说明想要准确的画出双曲线的图形只有那四个性质是不行的。

从学生曾经学习过的反比例函数入手，而且可以比较精确的画出反比例函数的图像，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与x、y轴无限接近，此时x、y轴是反比例函数的

图像的渐近线，为后面引出渐近线的概念埋下伏笔。从而让学生猜想双曲线有何特征?有没有渐近线?由于双曲线的对称性，我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。

探究双曲线的渐近线

从已有知识出发，层层设(释)疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念(或图形)特征，培养思维的深刻性。

利用由特殊到一般的规律，就可以引导学生探寻双曲线(a>0，b>0)的渐近线，让学生同样利用类比的方法，将其变形可知双曲线的图像(a>0，b>0)的图形在远处与直线

无限接近，直

线 叫做双曲线(a>0，b>0)的渐近线。

这样将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。

(2)证明

如何证明直线是双曲线(a>0，b>0)的渐近线呢? 启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言?(x→∞,d→0) 启发思考②：显然有四处逐步接近，是否每一处都进行证明? 启发思考③：锁定第一象限后，具体地怎样利用x表示d (工具是什么：点到直线的距离公式) 启发思考④：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化?

【活动】4.离心率的几何意义

椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，双曲线离心率有何几何意义呢?不难得到：

，这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。

可得，不难发现：e越小(越接近于1)，e 就越接近于0，双曲线开口越小;e越大，就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。

【练习】5.例题分析

例1.求双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。

变1：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。

变2：已知双曲线的渐近线方程是，且经过点(,3),求双曲线的标准方程。

【讲授】6.课堂练习

课本P113练习1.2

【活动】7.课堂小结

(1)通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质; (2)双曲线的几何性质总结(学生填表归纳)。