1.1.2 四种命题教学设计及教案分析

《四种命题及关系》

教学内容

本节课选自普通高中课程

教科书《数学》（人教版）选修2-1第1章1.1内容。

教材的地位与作用

数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处都涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证。本节课研究的内容既是对学生初中学习过的命题知识的延续和提高，又是后面研究充分条件和必要条件、全称量词和存在量词等知识的基础。同时也是培养学生用逻辑用语来阐明数学知识的需要，是人们在日常生活中进行思考、交流的需要。

三维目标

知识与技能

1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

2．四种命题之间的相互关系。

3．理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系。

4．用逻辑用语准确地表达数学内容。

过程与方法

通过实例说明四种命题形式的客观存在，使学生体会研究四种命题形式的必要性，采用启发式教学使学生明白四种命题的关系。

教学重点

掌握四种命题之间的相互关系，理解互为逆否的命题同真同假的重要规律。

教学难点

在命题的四种形式中，判断其中两个命题的关系。

课时安排

1课时

教学过程

一、

创设情境、导入新课

歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此的尴尬的局面，歌德只是笑容可掬，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反。”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。

提问

你能分析此故事中歌德与批评家的言语表达吗？

二、

师生互动、意义建构

新知探究

下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

(1) 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

(2) 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

(3) 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

(4) 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。

（请学生回答，教师点评补充）

回答：

命题(2)的条件和结论分别是命题(1)的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题，把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题；

命题(3)的条件和结论分别是命题(1)的条件的否定和结论的否定，我们称这两个命题为互否命题，把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题；

命题(4)的条件和结论分别是命题(1)的结论的否定和条件的否定，我们称这两个命题为互为逆否命题，把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题。

原命题：“若p则q”，则

（原命题的）逆命题：“若q则P”，

（原命题的）否命题：“若¬p则¬q（若非p则非q）”，

（原命题的）逆否命题：“若¬q则¬p（若非q则非p）”。

说明：¬p、¬q分别表示p、q的否定。

提问：刚刚我们分别研究了命题(2)(3)(4)与命题(1)的关系，现在请同学们再研究命题(2)(3)(4)内部有何关系？

三、

数学应用

1. 例题

写出下列命题的的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：

（1）若a=0，则ab=0；

（2）若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形；

（3）全等三角形的对应边相等；

（4）四条边相等的四边形是正方形。

解答：（1）原命题真，逆命题假，否命题假，逆否命题真；

（2）原命题假，逆命题假，否命题假，逆否命题假；

（3）原命题真，逆命题真，否命题真，逆否命题真；

（4）原命题假，逆命题真，否命题真，逆否命题假。

2.写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真值．

（1）

如果

x>0 ，那么x>10 ；（假）

解：逆命题:如果x>10 ，那么x>0.（真）

否命题:如果x≤0,那么x≤10.（真）

逆否命题: 如果x≤10，那么x≤0.（假）

（2）

若x＝2 ，则x2 －

x－6＝0.（假）

逆命题:若x2 －

x－6＝0. ，则

x＝2（假）

否命题:若x≠

2 ，则

x2 －

x－6 ≠0.（假）

逆否命题:若x2 －

x－6 ≠0，则

x ≠

2.（假）

设计意图：1．先将（3）（4）中的原命题改写成由“若p则q”的形式，再写其它三种命题就简单了。

2. 由以上四种不同类型的题，引导学生通过观察得出四种命题之间的相互关系。

练习

1．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是(

A

)

A. 真命题

C. 不一定是真命题

B. 假命题

D. 不一定是假命题

2．命题“a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是(

D

)

A. a，b都不是奇数，则a+b是偶数

B. a+b是偶数，则a，b都是奇数

C. a+b是偶数，则a，b都不是奇数

D. a+b不是偶数，则a，b不都是奇数

3．下列说法中错误的一项是(

C

)

A. 一个命题的原命题为真，它的逆命题不一定为真

B. 一个命题的原命题为假，它的否命题不一定为真

C. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为假

D. 一个命题的原命题为真，它的逆否命题一定为真

4．下列说法中正确的个数有(

B

)

(1) 四种命题中真命题的个数一定是偶数

(2) 若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题不一定是真命题

(3) 逆命题与否命题之间是互为逆否关系

(4) 若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：

(1) 若x<0，则x2 >0 ；

(2) 奇函数的图象关于原点对称；

(3) 当c>0时，若a>b，则ac>bc．

四、小结反思（由学生回答教师补充完成）

（1）四种命题的形式，写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论，可以先将原命题改写成“若p则q”的形式（写法不一定惟一），再写出其它三种命题（大前提不变）；

（2）在命题真假性的判断中，要借助原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证法（以后学习）证明问题的理论依据。一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:

原命题

真

真

假

假

逆命题

假

真

真

假

否命题

假

真

真

假

逆否命题

真

真

假

假

五、布置作业

自己写一个数学命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假；

设计感想

（1）学生的数学学习过程更应该是一个自主感受、建构数学知识的过程，让他们带着自己原有的知识背景参与学习活动，并通过自己的自主活动去建构对数学的理解。为了让学生开展更有效的学习，我们应该为学生创建探究的平台。因此本节课打破封闭式的教学过程，构建“问题情境——问题——探究——解决——新问题——再探究——再解决”的开放式学习过程，体现了学生是学习的主人，教师是教学活动的组织者、引导者和参与者。

（2）在使新课程中，教学观念的转变和课程意识的建立是首要的，教学不是教“教科书”，而是经由“教科书”来教，新课程给教师留下了广阔的空间，教师要站在课程标准的角度去挖掘教材，把教学内容与学生感兴趣的事物结合起来，寓教于乐，充分调动学生的积极性。