3.1.2 空间向量的数乘运算优秀教案设计

3.1.2

空间向量的数乘运算

[学习目标]

1.掌握空间向量的数乘运算.2.理解共线向量定理及推论.3.理解共面向量定理及推论．

知识点一

空间向量的数乘运算

(1)向量的数乘：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．

(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：

分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λμa＝λμa. 知识点二

共线向量

(1)共线向量定义

表示空间向量a，b的有向线段所在的直线互相平行或重合，则向量a，b叫做共线向量或平行向量，记作a∥b. (2)两向量共线的充要条件

对空间任意两个向量a，b (b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (3)共线向量的推论

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直→→线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta，①.其中向量a叫做直线l的方向向量．在→→→→l上取AB＝a，则①式可化为OP＝OA＋tAB，②.此推论可以用来判断任意三点共线．

知识点三

共面向量

(1)共面向量的概念

平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

(2)三个向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

题型一

空间向量的数乘运算

→→→例1

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分

别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

→→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1. 解

(1)∵P是C1D1的中点，

→→→→→1→∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1

21→1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b. 22(2)∵N是BC的中点，

1→→→→→∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC

21→1＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c. 22(3)∵M是AA1的中点，

→→→1→→∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP

21111＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c. 2222→→→1→→又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1

21→→1＝AD＋AA1＝c＋a，

22111→→∴MP＋NC1＝(a＋b＋c)＋(a＋c) 222313＝a＋b＋c. 222反思与感悟

用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解．如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘．

→→→跟踪训练1

如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用a，b，c表示以下向量：

→→→→(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ. 解

(1)∵P是CA′的中点，

1→→→1→→→∴AP＝(AC＋AA′)＝(AB＋AD＋AA′) 221＝(a＋b＋c)．

2(2)∵M是CD′的中点，

1→→1→→→→∴AM＝(AC＋AD′)＝(AB＋2AD＋AA′) 221＝(a＋2b＋c)．

2(3)∵N是C′D′的中点，

→1→→∴AN＝(AC′＋AD′) 21→→→→→＝[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)] 21→1→→＝(AB＋2AD＋2AA′)＝a＋b＋c. 22(4)∵CQ∶QA′＝4∶1，

→→→→4→→∴AQ＝AC＋CQ＝AC＋(AA′－AC) 51→4→1→1→4→＝AC＋AA′＝AB＋AD＋AA′

55555114＝a＋b＋c. 555题型二

向量共线问题

例2

如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的→→中点，则CE与MN是否共线？

解

方法一

∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，

→→→→∴MN＝MA＋AF＋FN

1→→1→＝CA＋AF＋FB.①

22→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN

1→→→1→＝－CA＋CE－AF－FB，②

22→→①＋②得2MN＝CE，

→→→→∴CE∥MN，即CE与MN共线．

方法二

∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，

→→→1→→1→∴MN＝AN－AM＝(AB＋AF)－AC

221→→1→→＝(AB＋AF)－(AB＋AD) 221→→1→→1→＝(AF－AD)＝(BE－BC)＝CE. 222→→→→∴MN∥CE，即MN与CE共线．

反思与感悟

判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b. →→→跟踪训练2

设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．

→→→解

∵BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2) →→＝5(e1＋e2)，

→→∴BD＝5AB，又∵B为两向量的公共点，

∴A、B、D三点共线．

题型三

向量共面问题

例3

如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角11→→→线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量MN，CD，DE共面．

33

1证明

因为M在BD上，且BM＝BD，

3→1→1→1→所以MB＝DB＝DA＋AB. 333

→1→1→同理AN＝AD＋DE. 33→→→→所以MN＝MB＋BA＋AN

1→1→→1→1→＝3DA＋3AB＋BA＋3AD＋3DE

2→1→2→1→＝BA＋DE＝CD＋DE. 3333→→→→→又CD与DE不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE共面．

反思与感悟

利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．

→1→1→1→跟踪训练3

已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足OM＝OA＋OB＋OC. 333→→→(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC所在的平面内．

→1→1→1→解

(1)∵OM＝OA＋OB＋OC，

333→→→→∴OA＋OB＋OC＝3OM，

→→→→→→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，

→→→→→∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC，

→→→∴向量MA，MB，MC共面．

→→→(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，

三个向量又有公共点M，

∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC所在的平面内．

1．设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则(

) A．a＝b＝0

C．λ＝0，b＝0

答案

B 解析

∵a，b是两个不共线的向量，

∴a≠0，b≠0，∴只有B正确．

→→→2．设空间中四点O，A，B，P满足OP＝OA＋tAB，其中0

) B．λ＝μ＝0 D．μ＝0，a＝0

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的延长线上

C．点P在线段BA的延长线上

D．点P不一定在直线AB上

答案

A 解析

∵0

→→→3.如图，在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，→N为BC中点，则MN等于(

)

121A.a－b＋c

232211B．－a＋b＋c

322112C.a＋b－c

223221D.a＋b－c

332答案

B →→→→解析

MN＝MA＋AB＋BN

11＝a＋(b－a)＋(c－b) 32211＝－a＋b＋c. 3224．下列命题中，正确命题的个数为(

) ①若a∥b，则a与b方向相同或相反；

→→②若AB＝CD，则A，B，C，D四点共线；

③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．

A．0

B．1

C．2

D．3 答案

A →→解析

当a，b中有零向量时，①不正确；AB＝CD时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确．

→→→→5．设M是△ABC的重心，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a＋b＋c＝0，则AM＝________. 1答案

(c－b) 3→2→解析

如图，AM＝AD

3

21→→1＝×(AB＋AC)＝(c－b)．

323

空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题．

一、选择题

1．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是(

) A．共线向量

C．不共面向量

答案

B 解析

如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共线，则a，b,3a－2b共线，当然也共面．

2．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(

) A．a∥e1

C．a与e1，e2共面

答案

C 解析

若a∥e1，则存在实数t使得a＝te1，

∴te1＝λe1＋μe2，∴(t－λ)e1＝μe2，

则e1与e2共线，不符合题意．

同理，a与e2也不平行．

由向量共面的充要条件，知C正确．

3．下列命题中是真命题的是(

) A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

B．a∥e2

D．以上三种情况均有可能

B．共面向量

D．既不共线也不共面向量

→→→→→→→→C．若向量AB，CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD

→→→→→→D．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD

答案

D 解析

A错．因为空间任意两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．

B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．

→→C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB>CD这种写法．

D对．∵AB→＋CD→＝0，∴AB→＝－CD→，∴AB→与CD→共线，

故AB→∥CD→正确．

4．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是(

A．A、B、D

B．A、B、C

C．B、C、D

D．A、C、D

答案

A 解析

∵AB→＝a＋2b，

BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→，

∴AB→∥BD→，由于AB→与BD→有一公共点B，

∴A、B、D三点共线．

5．下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(

) A.AB→＋BC→＝AC→

B.AB→－BC→＝AC→

C.AB→＝BC→

D．|AB→|＝|BC→| 答案

C 解析

由AB→＝BC→知AB→与BC→共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．

6．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋1→1→8OB＋8OC，则P、A、B、C四点(

A．不共面

B．共面

C．不一定共面

D．无法判断是否共面

答案

B 解析

OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→

＝34OA→＋18(OA→＋AB→)＋18(OA→＋AC→) ＝OA→＋1→1→8AB＋8AC，

) )

→→1→1→∴OP－OA＝AB＋AC，

88→1→1→∴AP＝AB＋AC. 88由共面的充要条件知P、A、B、C四点共面．

→7.如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD等于(

)

2→1→A.AB－AC

331→2→B.AB＋AC

332→1→C.AB＋AC

331→2→D.AB－AC

33答案

C →→→解析

由平面向量的三角形法则，得AD＝AB＋BD. 又因为点D是BC边上靠近B的三等分点，

→→1→→1→→所以AD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB) 332→1→＝AB＋AC. 33二、填空题

→→→8．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________．

答案

－8 →→→→解析

因为BD＝CD－CB＝e1－4e2，AB＝2e1＋ke2，

又A，B，D三点共线，

1－4由共线向量定理得＝，所以k＝－8. 2k9．空间非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的实数k＝________. 答案

±1 解析

令ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)得

λ＝k，⇒k＝1或k＝－1. λk＝1

10．在以下命题中，不正确的命题的个数为________．

→→→→①已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝0；

②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

③若a与b共线，则a与b所在直线平行；

→→→→④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．

答案

3 →→→→→→→→→解析

AB＋BC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DA＝AD＋DA＝0，①正确；

若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故②不正确；

由向量平行知③不正确；

由空间向量共面知④不正确．

故共有3个命题不正确．

11．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________. 答案

65

7解析

∵a，b，c三向量共面，

∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，

即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)．

7＝2m－n，∴5＝－m＋4n，λ＝3m－2n，三、解答题

→→12.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，→→→A1A＝c.试用a，b，c表示B1M，C1M.

65∴λ＝. 7

→→→→解

B1M＝B1A1＋A1A＋AM

1→＝－a＋c＋AC

2

1＝－a＋c＋(a＋b) 211＝－a＋b＋c，

22→→→→→C1M＝C1B1＋B1M＝D1A1＋B1M

11＝－b－a＋b＋c

2211＝－a－b＋c. 22→1→→→13.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE＝OD＋xOB＋yOA，2求x，y的值．

→→→→解

∵AE＝AB＋BC＋CE

→→→→1→＝OB－OA＋OC－OB－OC

2→1→→1→→＝－OA＋OC＝－OA＋(OD＋DC) 22→1→→＝－OA＋(OD＋AB) 2→1→1→→＝－OA＋OD＋(OB－OA) 223→1→1→＝－OA＋OD＋OB，

22213∴x＝，y＝－. 22