习题3.2教学设计案例

§3.2立体几何中的向量方法（三）

教学目标

1.知识与技能

(1)理解直线与平面所成角的概念．

(2)能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题．

(3)体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．

2．过程与方法

经历规律方法的形成推导过程、解题的思维过程，体验向量的指导作用．

3．情感、态度与价值观

通过学习向量及其运算由平面向空间推广的过程，逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心．

教学重点：向量法求解线线、线面、面面的夹角．

教学难点：线线、线面、面面的夹角与向量夹角的关系．

空间角的向量求法

问题导思

1．空间中两条异面直线所成角的范围是多少？

π【答案】

(0，]．

22．直线与平面的夹角是怎样定义的？夹角的范围是多少？

【答案】

平面外一条斜线与它在该平面内的射影所成的角叫斜线与平面所成的角，其π取值范围为[0，]．

23．怎样作出二面角α－l－β的平面角？其平面角的取值范围是多少？

【答案】

在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就是二面角α－l－β的平面角．它的取值范围是[0，π].

角的分类

向量求法

设l1与l2的方向向量为a，b，则cos θ＝两异面直线l1与l2所成的角θ

a，b|a·b|＝

|a||b|范围

π(0，] 2设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角θ

则sin θ＝a，n＝|a·n|

|a||n|π[0，] 2

设平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos θ|二面角α－l－β的平面角θ

＝课堂探究

求异面直线所成的角

例1如图3－2－17，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θπ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．

3n1，n2|n1·n2|＝

|n1|·|n2|[0，π]

图3－2－17 解

由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，

所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0) π当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝2，∴V(0,0，6)，

3→→∴AC＝(－2,0,0)，VD＝(1,1，－6)，

→→－2AC·VD2→→∴cos〈AC，VD〉＝＝＝－. →→422|AC||VD|2×∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为变式训练

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．

2. 4

解

以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，

→→得A1B＝(0,4，－3)，B1C＝(－4,0，－3)．

→→A1B·B1C9→→设A1B与B1C的夹角为θ，则cos θ＝＝，

→→25|A1B||B1C|9→→故A1B与B1C的夹角的余弦值为，

259即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为. 25求线面角

例2

如图3－2－18所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝1AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

2(1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

图3－2－18

解

设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)．

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，

1又AN＝AB，M、S分别为PB、BC的中点，

4111∴N(，0,0)，M(1,0，)，S(1，，0)，

2221→11→(1)CM＝(1，－1，)，SN＝(－，－，0)，

222111→→∴CM·SN＝(1，－1，)·(－，－，0)＝0，

222因此CM⊥SN. 1→→→(2)NC＝(－，1,0)，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，∴CM·a＝0，NC·a＝20.

则1－2x＋y＝0.1x－y＋z＝0，2

x＝2y，∴

z＝－2y.

取y＝1，则得a＝(2,1，－2)．

1－1－22→a，SN＝＝－. 223×2因为3→∴〈a，SN〉＝π.

43ππ所以SN与平面CMN所成角为π－＝. 424

变式训练

如图3－2－19，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，求BE与平面B1BDD1所成角的余弦值．

图3－2－19 解

如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，→→→BD＝(－2，－2,0)，BB1＝(0,0,2)，BE＝(－2,0,1)．

→AC＝(－2,2,0)即平面B1BDD1的一个法向量，设n＝(－1,1,0)．

→n·BE10→cos〈n，BE〉＝＝. →5|n||BE|15→设BE与平面B1BD所成角为θ，cos θ＝sin〈n，BE〉＝，

5

15. 5即BE与平面B1BD所成角的余弦值为

求二面角

例3

如图3－2－20，若正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC，求二面角A－EB－C的大小．

图3－2－20 解

∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC. 又∵平面ACDE⊥平面ABC，

∴EA⊥平面ABC. 以点A为坐标原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC，AE为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设EA＝AC＝BC＝2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．

∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M(0,1,1)．

设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)，

→→则n⊥AE且n⊥AB，

→→从而有n·AE＝0且n·AB＝0. →→又∵AE＝(0,0,2)，AB＝(2,2,0)，

∴x，y，zx，y，z，0，，2，＝0，z＝0，即

＝0，x＋y＝0.

取y＝－1，则x＝1，则n＝(1，－1,0)．

→又∵AM为平面EBC的一个法向量，

→且AM＝(0,1,1)，

→n·AM1→∴cos〈n，AM〉＝＝－. →2|n||AM|1设二面角A－EB－C的平面角为θ，则cos θ＝，即θ＝60°. 2故二面角A－EB－C为60°.

变式训练

已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，求平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小．

图3－2－21

解

以B为原点，过点B与BC垂直的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，C1(0，a，a)，A(－aD(0，a，)．

23aa→→故AB1＝(a，－，a)，B1D＝(0，a，－)．

222设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，

→→则n·AB1＝0，n·B1D＝0，

3a3aa，，0)，A1(－a，，a)，2222

y＋az＝0，23ax－a2即aay－2z＝0.得x＝－3y，z＝2y. 取y＝1，则n＝(－3，1,2)．

→∵平面ABC的法向量是AA1＝(0,0，a)，

∴二面角θ的余弦值为

→AA1·n2cos θ＝＝. →2|AA1||n|π∴θ＝. 4π∴平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为. 4

课堂检测

1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(

) A．30°

B．150°

C．30°或150°

D．以上均不对

【解析】

l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围π为(0，]．应选A. 2【答案】

A 2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－则l与α所成的角为(

) A．30°

C．150°

B．60°

D．120°

3，

23，2【解析】

设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝

∴θ＝60°，应选B. 【答案】

B 3．已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β所成的二面角的大小为________．

【解析】

cos〈u，v〉＝－112＝－，∴〈u，v〉＝π，

232·2π而所成的二面角可锐可钝，故也可以是. 3π2【答案】

或π

334．如图3－2－22直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，CC1＝2，求直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值．

图3－2－22 解

以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(0,1,0)，C1(0,0,2)，A1(1,0,2)．

→则A1B＝(－1,1，－2)，平面BB1C1C的法向量n＝(1,0,0)．

→设直线A1B与平面BB1C1C所成角为θ，A1B与n的夹角为φ，

→A1B·n66则cos φ＝＝－，∴sin θ＝|cos φ|＝. →66|A1B||n|∴直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为课堂小结

利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为两个向量夹角的关系，解决方法一般有两种，即坐标法和基向量法，当题目中有明显的线面垂直关系时，尽量建立空间直角坐标系，用坐标法解决．需要注意的是要理清所求角与向量夹角之间的关系，以防求错结果.

6. 6