复习参考题优质课一等奖教案

“空间向量在立体几何中的应用”教学设计

设计思想：用多媒体辅助教学，采用探究、启发相结合的教学模式，运用类比的方法，自主研究、合作交流等方式找出用向量法解决立体几何基本方法。

一、学情分析

学生已经熟悉了平面向量与空间向量的基本运算，也掌握了解立体几何的基本方法。本节课主要是用向量解决立体几何的基本方法。

二、教学目标

⑴知识教学目标：

①理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；

②理解并会用空间向量解决平行与垂直问题.

⑵能力训练目标：

①通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；

②培养学生向量的代数运算推理能力；

③培养学生理解、运用知识的能力．

三、教学重点与难点

1、教学重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题．

2、教学难点：用空间向量求二面角的余弦值四、教学过程

三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法．

四.教学用具：电脑、投影仪．

五.教学设计

（一）新课导. 复习空间向量中的平行与垂直问题的相关问题. （二）新课学习

1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. （1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线l2上的任意两点，则l1,l2所成的角的余弦值 广西希望高中

数学组韦贤克 18177137891 ABCD为. ABCD （2）设AB是平面的斜线，且B,BC是斜线AB在平面内的射影，则斜线AB与平面所成的角的余ABBC弦值为ABBCABn. .设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角的余弦值为ABnn1n2n1n21

（3）设n1,n2是二面角l的面,的法向量，则就是二面角的平面角或补角的余弦值.

2.

夹角与距离的计算

(1)夹角

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法向量分别为u,v则

①两直线l,m所成的角为(02ab),cosab；

②两直线l与平面所成的角为直线(02au),sinau；

③二面角l所成的角为(0),cosuvuv或cosuvuv

（2）空间距离问题

点到平面的距离为h(如图)，设n是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中A，则点P到平面的距离为hAPnn

（实质就是AP在法向量n方向上的射影）

(3)平行与垂直问题：

①平行问题

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法向量分别为u,v则

线线平行 l//m

a//bab

线面平行 l//auau0

面面平行 //uvuv

②垂直问题

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法向量分别为u,v则

2



线线垂直 lm

abab0

线面垂直 la//uau

面面垂直 uvuv0

例1.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，

并且PAAD,求证：MN平面PDC

PzNy

DC

xAMB

分析：1.如何建立空间直角坐标系? 2.找点坐标的关键是什么？注意方法的应用. A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1)M(0,1,0),N(1,1,12222)

MNDC(112,0,2)(0,1,0)0MNDC

MN(112,0,2),,PD(1,0,1),DC(0,1,0)

MNPD(12,0,12)(1,0,1)0MNPD

又PDDCDMN平面PDC例2已知在四边形ABCD中，AD//BC,AD=AB=1, BCD450，BAD900

将 ABD将沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置, 使平面PBD平面BCD

(1)求证：CDPB(2)求二面角P-BC-D的余弦值大小

(3)求点D到平面PBC的距离.3 

分析：(1)第一问用几何法（线线垂直转化证线面垂直）

（2）第二问用几何法就要找角.注意到由第一问的结论可知坐标系容易建立.用坐标法好处理.而且第三问也是顺手牵羊. 解:⑴BAD90,ADABADBABD45°AD//BCBCD45°

BDC90°BDDC又平面PBD平面BCD，CD平面BCD, CD平面PBD,PB平面PBDCDPB

⑵过P作PEBD于E，

由平面PBD平面BCD得PE平面BCD，

过E作EFBC于F,连接PF,由三垂线定理可证PFBC. PFE为二面角PBCD的平面角,PBPD1

∴

121, 

PEBE，EFBE,在RtPEF中，PEF90°222

tanPFEPE32,二面角PBCD的余弦值大小为

EF3

⑶设D到平面PBC的距离为h，由PB1可求出BDDC2，BC=2,PC3.PBPD,PBCD,PDCDDPB平面PCD1111PC平面PCDPBPCVCPBDVDPBCPBPDDCPBPCh3232PDDC6PDDCPChhPC3

解法二：

解：(1)BAD900,ADAB,ADBABD450

AD//BCBCD450BDC900BDDC

如图建立直角坐标系D-xyz，

D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(22,0,)

224

CD(0,2,0),PB(22,0,22)

CDPB0CDPB. （2）取平面BDC的法向量为n(0,0,1)，设平面PBC的法向量为n(x,y,z)

PB(22,0,22)D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(22,0,22)

mPB0即0xz0x2yz0m(1,1,1) mn3cos

mPCmn3所以二面角P-BC-D的大小的余弦值为33.

(3)DP(22,0,22)m(1,1,1)

且平面PBC的法向量为

2202所以点D到平面PBC的距离为DPmm2363.

六、课堂小结

(一)、基础知识：

1、平行与垂直的判定

2、夹角与距离

（二）一题多解

七、作业布置

选修2-1 复习参考题 P118 第10题 P119 B组第3题 八、板书设计

§空间向量在立体几何中的应用

例1 例2

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