阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系第一课时教学实录

24.1.3 弧、弦、圆心角

教学目标：

1、理解圆的旋转不变性．

2、掌握圆心角的概念和圆心角定理．

3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力；

4、学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题．

教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．

教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

教学过程：

一、情境创设：

1、按下面的步骤做一做：[来源:学|科|网]

(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；

(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．

注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

图1[来源:学*科*网Z*X*X*K]

(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

二、新课讲授

1．定点在圆心的角叫做圆心角。如：∠AOB 2．如图1，由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知弧AB=弧A’B’. 定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？

推论：

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．

注意：（1）“同圆或等圆”的条件不能少；

若去掉这个前提，如图所示的是两个同心圆，弦AB与弦CD 相等吗?弧AB与弧CD相等吗? (显然不相等)

（2）定理的作用：在同圆或等圆中证：圆心角、弧、弦相等；

（3）“等弧对等弦”是假命题；

※（4）在同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等；（记住结论，但解答题不可直接使用）

※（5）弧的度数等于它所对的圆心角的度数。（弧是圆中非常重要的桥梁）

三、例题讲解

例1．如图，在⊙O中，ABCD，∠ACB＝60°，

求证：∠AOB=∠AOC=∠BOC．

练习：点A、B、C、D为⊙O上四点，AB:BC:CD:DA=1：2：3：4，

[来源学科网ZXXK]

则∠BOC=

72°

.

来源:Zxxk.Com]

DACOB例2．如图，已知AD=BC，求证：AB=CD．

分析：要证AB=CD，只要证ABCD.

例3．小林根据在一个圆中圆心角、弧、弦三个量之间的关系认为，

在如图中，若∠AOB=∠COD则有AB2CD

AB=2CD ,你同意他的观点吗？

试说说你的理由。

分析：作∠AOB的平分线交⊙O于点E,则∠AOE=∠EOB=∠COD

O B E C D AEEBCD

所以AB2CD正确. 但AB=2CD不正确..连接AE,BE 这时AE=BE=CD, 所以2CD=AE+BE 但因为AB＜AE+BE 即AB＜2CD

所以AB=2CD不成立

四、课堂反馈

1．填空：

（1）⊙O的半径为2cm，弦AB=23cm，则∠AOB=

120°

（2）弦长等于半径的弦所对的圆心角等于

60°

（3）半径为1的圆中，长为2的弦所对的圆心角为

90°

2．如图，点C、D在⊙O的直径AB上，AC=BD，CE⊥AB，DF⊥AB，

点E、F在⊙O上. 求证：AEBF. 提示：连接OE、OF，证∠AOE=∠BOF. 来源学科网A EFB

ACOD3．如图，在◇ABCD中，以A为圆心，AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G，交BA的延长线于E, 求证：EFFG

提示：连接AG,证明∠EAF=∠FAG

或连接EＦ、FG

证明△EAF△GAF

B G

E A F D C

五、课堂小结

“等对等”：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相．．．．．．．等．反之也成立. “在同圆和等圆中”这个条件不可缺。

六、布置作业

思考题：如图A是半圆上一个三等分点，B是AN的中点，P是直径MN上一动点。

已知

O半径为1，求AP+BP的最小值。