等腰三角形的判定与反证法优秀教学设计

第一章

三角形的证明

1. 等腰三角形（三）

达川区渡市初级中学：吴永连

一、学生知识状况分析

本节课是等腰三角形的第三课时，通过前面两课时的学习，学生已经掌握了等腰三角形的相关性质，并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤。为学习等腰三角形的判定定理奠定了知识和方法的基础。

二、教学任务分析

本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明。这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一。因此，本节课的教学目标定为：

1．进一步探索等腰三角形的判定，并掌握证明方法。

2．认识反证法，并掌握反证法的步骤，并能简单运用。

3．能综合运用三角形的判定解答较简单的几何问题。

4.培养学生的逆向思维能力。

三、教学过程

第一环节：复习引入

问题1.等腰三角形性质是什么？这些命题的题设和结论分别是什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

问题3.我们把等边对等角的条件和结论反过来还成立么？

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？

活动意图：设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段。

第二环节：逆向思考，定理证明

1.

首先让学生画一个三角形，使得它有两个角相等，然后测量这两个相等角所对的边。

通过测量发现相等的角所对的边相等。

2.如何从理论上证明? 如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：

AB=AC 要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．

由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．

同学们分组讨论．

同学们展示：

如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

例1：已知：如图，AB=DC,BD=CA.

求证：

△AED是等腰三角形

证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=AD ∴△ABD≌△DCA(SSS) ∴∠ADB=∠DCA (全等三角形对应角相等）

∴AE=DE(等角对等边) ∴

△AED是等腰三角形

第三环节：适时提问 导出反证法

活动过程与效果：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 有学生提出：“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢? AABCBC

我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC

你能理解他的推理过程吗? 反证法：

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

反证法的步骤：

1、假设命题结论的反面成立；

2、从假设出发，经过推理得出和已知条件或定义、基本事实、定理矛盾；

3、得出假设不成立，即所求证命题成立。 注意：反证法适用于待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

例2：证明一个三角形中不可能有两个直角，

已知：△ABC

求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个直角。

证明：假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，

于是∠A+∠B+∠C = 90°+ 90°+ ∠C ＞180°

这与三角形内角和定理矛盾，

因此∠A、∠B是直角的假设不成立

所以，一个三角形中不能有两个角是直角。

第四环节：巩固练习

1. 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。

求证：AB=AD 2.A 3 1 2 D

证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且B a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一C

个大于或等于1/5. 第五环节：达标检测

1、下列能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）

A、

∠A=30°，∠B=60° B、

∠A=50°，∠B=80°

C、 AB=AC=2,BC=4 D、AB=3，BC=7，周长为10. 2、如图∠A=36°，∠DBC=36°，

∠,C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明。

3．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是____ 4、试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角。

第六环节：拓展延伸

1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长. .

第七环节：课堂小结

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？

M B D N C A （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路