三角形中的角平分线教案1

《角平分线》教学设计

教学目标：

1、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性。

2、掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些简单问题。

3、能积极参与数学学习活动，在数学活动中获得成功的体验，建立自信心。

教学重点：三角形三条角平分线的性质定理。

教学难点：掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明。

教学过程：

一、情景引入

师：我们用三张三角形的纸片，分别折出三个角的角平分线.我们发现，这三条线是交于一点的，但是，是不是所有的三角形都具有这样的性质呢？

每个同学分别拿出不同形状的三角形纸片折叠后作其角平分线，观察结果. 问题1：观察这几个三角形，它们的角平分线交于一点么？

问题2：猜想是否任意三角形角平分线都交于一点？如果是，如何证明它呢？

二、探究新知

1、（多媒体出示）请同学们观察下图，思考如何证明：任意三角形的三条角平分线交于一点，你能写出已知、求证、证明吗？并与同伴交流．

已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，

求证：P点在∠BAC的角平分线上．

证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥ABC，其中D、E、F是垂足．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BMDFN上，

MP∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．

同理：PE=PF．

∴PD=PF．

CBE∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．

∴△ABC的三条角平分线相交于点P．

问题：在证明过程中，我们除证明了任意三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的结论呢? 师：于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

2、师：我们学习了三角形角平分线的性质定理和判定定理，你能顺利的利用三角形角平分线的性质定理和判定定理解决实际问题吗？（多媒体出示例3）

例3．如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

(1)已知CD=4 cm，求AC的长；

(2)求证：AB=AC+CD．

A学生讨论：

师引导提示：第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次ECDB

遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．

预设1：(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，

∠C=90°，DE⊥AB．

∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．

∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．

∵∠C=90°，

1∴∠B=

×90°=45°．

2∴∠BDE=90°—45°＝45°．

∴BE=DE(等角对等边)．

在等腰直角三角形BDE中

BD2DE224242 cm(勾股定理)，

∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．

预设2：(2)证明：由(1)的求解过程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE．

∵BE=DE=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD．

三、巩固练习

如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？请你将找出中转站的位置. 四、课堂小结

师：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．

五、布置作业

习题1.10第1、2题。

六、板书设计