三角形中的垂直平分线教学设计实例

第一章

三角形的证明

3．线段的垂直平分线(二) 一、教学目标分析

1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点

2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．

3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．

4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

教学重点、难点

重点：①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．

②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．

难点：证明三线共点。

二、教学过程分析

1：情景引入

活动内容：尺规作图作三条边的垂直平分线。

活动目的：让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。

活动过程：

教师提问：“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?(教师可用多媒体演示作图过程)”

“三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．”等都是学生可以发现的直观性质。

这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．

上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。

2：例题解析

MAEOPBNCFQ

1

师生共析，完成证明

（1）讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意几何符号语言的规范性。

已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．

求证：P点在AC的垂直平分线上．

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．

同理PB=PC．

∴PA=PC．

∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．

∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．

进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?”

（交点P到三角形三个顶点的距离相等．）

（2）多媒体演示我们得出的结论：

定理

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等

3.引申拓展

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?

(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。

由学生思考可得：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图：

AOBC

2

已知：三角形的一条边a和这边上的高h 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h AhBaDCBahDC( )AAhBaCDA1

A1A1

从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，连接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．（见几何画板课件）

(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．

另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．”

（3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．

4.例题学习

已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．

已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h 作法：1．作BC=a；

2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

3 MABDNC

4．连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．

（6）做一做：课本第25页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法叙述的准确性加以更正。

5.动手操作

（1）例题：已知直线

l 和

l 上一点

P，用尺规作

l 的垂线，使它经过点

P. 学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。

（2）拓展：如果点

P 是直线

l 外一点，那么怎样用尺规作

l 的垂线，使它经过点

P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.

6.快乐套餐：

（1）已知线段a，求作以a为底，以a/2为高的等腰三角形。

(2).如图，AC=AD，BC=BD，则（

）

A.CD垂直平分AD

B.AB垂直平分CD

C.CD平分∠ACB

D.以上结论均不对

(3).如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（

）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等边三角形

7.随堂练习:：习题1.8第1、2题。

8.课时小结

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．

9.课后作业

习题1．8第3、4题

三、教学反思

本节课证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线．已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一

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点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。

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