三角形中的角平分线教学设计

一、课题：三角形中的角平分线

二、教学目标

1．知识目标：证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论并能应用．

2．能力目标：

（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．

（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

3．情感与价值观：

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

三、教学重点

①三角形三个内角的平分线的性质．

②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．

四、教学难点

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．

五、教学过程

（一）情境导入

问题l

习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？

证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”

．

（二）引入新课

已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，

证明：P点在∠BAC的角平分线上．

证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．

1 ADNPBECMF

同理：PE=PF．

∴PD=PF．

∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．

∴△ABC的三条角平分线相交于点P．

在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢? （PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）

于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理

锐角三角形

三角形

钝角三角形

直角三角形

交点性质

问题2 如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的? ACl1l2Bl3三边垂直平分线

交于三角形内一点

交于三角形外一点

交于斜边的中点

到三角形三个顶点的距离相等

三条角平分线

交于三角形内一点

到三角形三边的距离相等

2

APBl3教师讲评。

（三）例题讲解

Cl1l2P1

[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

(1)已知CD=4 cm，求AC的长；

(2)求证：AB=AC+CD．

分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形CDBEADBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．

(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，

∠C=90°，DE⊥AB．

∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．

∵∠AC=∠BC

∴∠B=∠BAC(等边对等角)．

∵∠C=90°，

1∴∠B=

×90°=45°．

2∴∠BDE=90°—45°＝45°．

∴BE=DE(等角对等边)．

在等腰直角三角形BDE中

BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，

∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．

(2)证明：由(1)的求解过程可知，

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Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE．

∵BE=DE=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD．

[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：(1)OC=OD；

(2)OP是CD的垂直平分线．

CAOEDPB

证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．

在Rt△OPC和Rt△OPD中，

OP=OP，PC=PD，

∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．

∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．

(2)又OP是∠AOB的角平分线，

∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．

思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?

(四)课堂小结

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

（五）课后作业

习题1．10第1、2题

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六、教学反思

本节对学生能力的要求很高，如例1中问题作为教师要善于利用这个典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。如果课堂时间允许还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解。

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