12.3 互逆命题教案设计（一等奖）

互逆命题2 仪征市实验中学 李国凤 2019.6.5 教学目标：

1．体会认识图形“位置关系”和“数量关系”的内在联系；

2．经历构造一个命题的逆命题，并证明这个逆命题是真命题，获得新的数学结论的过程，学习逆向思考研究问题．

教学重点：体会认识图形“位置关系”和“数量关系”的内在联系．

教学难点：培养有条理的说理能力．

教学过程：

一、创设情境，引入新课

原题重现“《课时》P131第12题”

如图，AD∥BC，∠ADF＋∠DEF＝180°. 求证:BC∥EF 证明：∵∠ADF＋∠DEF＝180°

∴AD∥EF ∵AD∥BC ∴BC∥EF

A

E

B

D

F

C

二、合作质疑，探究新知

直线平行.）请你试着证明这个命题是真命题. 思考：证明过程最后一步的依据是什么？（如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条三、例题探究，知识深化

例1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行．

1．按照证明与图形有关的命题的一般步骤画图，写已知、求证．

2．观察、思考、证明．

3．学生板演．

d

1

2

3

a

b

c

已知：如图，直线a、b、c 中，b∥a， c∥a．

求证：b∥c ．

证明：作直线a、b、c的截线d．

∵b∥a (已知)，

∴∠2＝∠1 (两直线平行，同位角相等)，

∵c∥a (已知)，

∴∠3＝∠1 (两直线平行，同位角相等)，

1

∴∠2＝∠3 (等量代换)，

∴b∥c (同位角相等，两直线平行)．

【议一议】在你已经学习过的命题中，试举出两个命题，

它们不仅是逆命题，而且都是真命题． 例如：1.“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”

2.“平方差公式”与“因式分解（平方差）公式法”等. 【思考】我们知道，三角形三个内角的和等于180°，那么直角三角形的两个锐角是什么关系？（互余关系）

例2 证明：直角三角形的两个锐角互余． 1．按照证明与图形有关的命题的一般步骤画图，写已知、求证．

2．观察、思考、证明．

3．学生板演

已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，

求证：∠A＋∠B＝90°． 证明：在△ABC 中，

∠A＋∠B＋∠C ＝180°

（三角形三个内角的和等于180°）， ∴∠A ＋∠B ＝ 180°－

∠C（等式性质)，

∵

∠C ＝ 90°(已知)，

∴∠A ＋∠B ＝ 180°－ 90°（等量代换)，

∴

∠A ＋∠B ＝ 90°． A

C

B

【试一试】说出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题．这个命题是真命题吗？为什么？

（学生发表意见，表达观点；写出证明过程，互相检查批改．）

逆命题是“有两个角互余的三角形是直角三角形”，可以证明这个逆命题是真命题. 例3.已知：在△ABC 中，∠A＋∠B＝90°. 求证：△ABC 是直角三角形. 证明：（略）

总结：构造一个命题的逆命题，并证明这个命题是

真命题，我们就能探索并获得一些新的数学结论．

这是一种逆向思考研究问题的方法．

A

C

2 B

【练习】

1． (1)如图，AB∥CD，AB、DE 相交于点G，

∠B＝∠D．

在下列括号内填写推理的依据：

∵AB∥CD (已知)，

∴∠EGA ＝∠D ( )．

又∵∠B ＝∠D (已知)，

∴∠EGA ＝∠B( )，

∴DE∥BF ( )．

(2)上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？ 2.（1）已知：如图，在直角三角形ABC 中∠ACB ＝ 90°，D 是AB 上一点，且∠ACD ＝∠B ．

求证：CD⊥AB．

（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个

互逆的真命题？

A E

A

C

F

B

D

G

C D B 四、课堂小结，感悟收获. 通过今天的学习，你有哪些收获与体会，说出来和同学们分享．

三个定理：

1.平行于同一条直线的两条直线平行. 2.直角三角形的两个锐角互余．

3.有两个角互余的三角形是直角三角形. 一种方法：逆向思维法

五、课后作业 1．课本P161习题12.3第3、4题；

2．思考题（选做）：

（1）已知：如图，在在△ABC

中，点E 在AC上，点F 在BC上，点D、G 在AB上，

FG∥CD，∠EDC＝∠BFG

．

求证：∠AED

＝∠ACB．

（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？

A

D

G

E

（课后完成必做题，并根据自己的能力水平

确定是否选做思考题．）

3 B

F

C