数学活动教案3

§21.2.4

一元二次方程的根与系数的关系

一、教学目标

1．通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数．

2．通过对代数式的熟练变形，能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值．

二、预习反馈

阅读教材P15～16，完成下列内容．

1．完成下列表格：

方程

x2－5x＋6＝2 0 x2＋3x－102 ＝0

问题：你发现什么规律？

①用语言叙述你发现的规律：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项．

②x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

2．完成下列表格：

方程

x1

x2

x1＋x2

x1x2

－5 －3 －10 3 5 6 x1

x2

x1＋x2

x1x2

2x2－3x－22 ＝0 3x2－4x＋1＝0 13

1－2

32

43

－1 1 13

问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：

①用语言叙述发现的规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．

②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2bc＝－a，x1x2＝a. 3．利用求根公式推导根与系数的关系：

22－b＋b－4ac－b－b－4acax2＋bx＋c＝0的两根x1＝，x＝．

22a2abc则x1＋x2＝－a，x1x2＝a．

三、题型练习：

类型1

利用根与系数的关系求方程的两根之和与积

例1

(教材P16例4)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积：

(1)x2－6x－15＝0；

(2)3x2＋7x－9＝0；

(3)5x－1＝4x2. 解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15. 7(2)x1＋x2＝－3，x1x2＝－3.

51(3)x1＋x2＝4，x1x2＝4. 【点拨】

先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2－4ac≥0，bc则x1＋x2＝－a，x1x2＝a. 例2

(教材补充例题)已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．

【思路点拨】

本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．

3解：另一根为2，k＝3. 【跟踪训练1】

已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(A) A．x2－7x＋12＝0

B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0

D．x2－7x－12＝0 【点拨】

以x1，x2为根的一元二次方程是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 【跟踪训练2】

(《名校课堂》21.2.4习题)不解方程，求下列方程两个根的和与积．

(1)x2－6x＝－5；(2)2x2－1＝3－5x；

(3)3x2－3x＝x2；(4)4x2－2x＋1＝x＋8. 解：(1)原方程化为x2－6x＋5＝0，所以两根的和为6，两根的积为5. 5(2)原方程化为2x＋5x－4＝0，所以两根的和为－2，两根的积为－2. 23(3)原方程化为2x2－3x＝0，所以两根的和为2，两根的积为0.

37(4)原方程化为4x－3x－7＝0，所以两根的和为4，两根的积为－4. 2类型2

根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式的值

例3

已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．

11(1)α＋β；(2)α2＋β2；(3)α－β.

解：∵α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，

∴α＋β＝3，αβ＝－5. 11α＋β3(1)α＋β＝αβ＝－5. (2)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝32－2×(－5)＝19. (3)∵(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝32－4×(－5)＝29. ∴α－β＝29或－29. 【方法归纳】

利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及六种常用变形：

1．三个步骤：

(1)算：计算出两根的和与积；

(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式；

(3)代：代入求值．

2．六种常用变形：

2222(1)x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2；(2)(x1－x2)＝(x1＋x2)－4x1x2；(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；

22211x1＋x2x1x2x1＋x2（x1＋x2）－2x1x2(4)x＋x＝xx；(5)x＋x＝xx＝；

x1x212122112

(6)|x1－x2|＝（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2. 【跟踪训练3】

若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为3．

【跟踪训练4】

已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，11x2，且满足x＋x＝3，则k的值是2．

12四、巩固训练

1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值是(D) A．4

B．－4

C．3

D．－3 2．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是(B) A．1

B．5

C．－5

D．6 3．两个实数根的和为3的一元二次方程是(A) A．x2－3x－4＝0

B．x2＋3x－4＝0 C．x2－3x＋4＝0

D．x2＋3x＋4＝0 4．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是－4．

25．已知方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x2＋x12＝23．

6．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0，试根据下列条件，求m的值．

(1)两根互为相反数；

(2)两根互为倒数．

解：设原方程的两个根为x1，x2，

由根与系数的关系，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2－2. (1)若两根互为相反数，则x1＋x2＝2(m＋1)＝0，

解得m＝－1. (2)若两根互为倒数，则x1x2＝m2－2＝1，

解得m＝±3，而Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4×1(m2－2)≥0，解得3m≥－2. 3因为－3<－2，所以m＝－3舍去，

因此m＝3. 五、课堂小结

一元二次方程根与系数的关系：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：

bcx1＋x2＝－a，x1x2＝a.