2.6.1 曲线与方程板书设计及设计说明

2.6.1

曲线与方程

授课人：胡丽媛

一、教学目标

知识与技能目标：

了解曲线方程的概念，能根据曲线方程的概念解决一些简单的问题；

过程与方法目标：

通过直线、圆、圆锥曲线的学习，结合曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想；

情感、态度与价值观目标：通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受学习数学的乐趣，提高学习数学的积极性，培养学生严谨的学习态度.

二、教学重难点

重点：曲线方程的概念.

难点：应用曲线方程概念与关系研究方程的曲线.

三、教学过程设计

（一）创设问题情境

到目前为止，在解析几何中我们已经学习了直线与圆的方程、椭圆、双曲线和抛物线的方程，那么究竟什么是某曲线的方程呢？这就是我们这节课将研究的内容。先请大家看一个实际问题：

抛物线有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，利用这个性质，也可以使一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的面的反射集中于它的焦点，人们应用这个原理设计了一种加热水和食物的太阳灶（如图），上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，请建立适当的坐标系，求镜的轴截面的方程

学生活动：经历建系求曲线方程的过程，得到抛物线方程。

问题1：求得的抛物线方程是实际问题中镜的轴截面的方程吗？为什么？

问题2：建立曲线对应的方程是为了更准确的利用曲线的性质服务于生产生活，那么几何中的曲线与代数中的方程如何才能等价呢？

（二）数学建构

观察表格中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系：

思考1：曲线与方程y=x是否等价？为什么？它们之间是什么关系？你还有类似的例子吗？

（曲线上所有点的坐标都是方程的解，但是以这个方程的解为坐标的点有很多都不在曲线上。

该曲线是方程表示的曲线的一部分）

与方程x思考2：曲线y呢？

（以方程的解为坐标的点都在曲线上，但是曲线上还有一些点的坐标不适合这个方程。该方程表示的曲线是已知曲线的一部分。）

思考3：曲线

与方程xy1呢？

22（曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。）

问题：通过以上问题，请思考，满足什么条件时，方程才能被称为某曲线的方程，曲线才能被称为某方程的曲线？

（以“一、三象限的角平分线l和方程xy0的关系”为例分析和概括定义的两方面。）

几何中的曲线C是满足一定特征的点的集合，代数中的二元方程f(x,y)0是(x,y)所满足的制约关系，在建立了平面直角坐标系之后，这二者之间就有了联系。

曲线与方程的定义

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.

问题：如何理解这个定义？

（1）集合的观点：

设集合M={P|P是曲线C上的点}，集合N{(x,y)|f(x,y)0}

①“曲线上的点的坐标都是这个方程的解” ,阐明MN

②

“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明NM

①

与②同时成立说明集合M=集合N，这样曲线与方程才等价。

（2）轨迹的观点：

①“曲线上的点的坐标都是这个方程的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外。即轨迹的纯粹性. ②“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.即轨迹的完备性. ①与②同时成立说明曲线C上符合条件的点既不能多也不能少，这样曲线与方程才等价。

由曲线的方程定义知，若曲线C的方程是f(x,y)0，则P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)0. 这正是判断点是否在曲线上的依据。

有了曲线方程定义的保证，我们在研究曲线性质时可以考虑探求出它对应的方程，借助代数的方法来研究几何问题。在研究代数方程的解时，有时也可以考虑它所表示的曲线类型，利用曲线的性质解决代数问题。这是数与形的完美统一。

所以接下来我们要解决的是如何准确的得到某方程所表示的曲线，又如何求出曲线对应的方程。请看例题：

（三）例题探究

例1

下列方程分别表示什么曲线？

（1）(xy1)x10；

（2）xy1；

分析：利用方程研究曲线的形状，得到形式与内容的统一

例2

已知一座圆拱桥的跨度是36m，圆拱高为6m，以圆拱所对的弦AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，求圆拱的方．．．．程.

．

分析：例2在必修二中是求“圆拱所在圆的方程”，这里是求圆拱的方程，以加深对曲线与方程概念的理解，为此，通过对坐标的限制来确定范围。

（四）课堂反馈

1.

若曲线C的方程为xy3xky20，当k

时，曲线C经过点(2,1).

2. 方程4x2y20表示的曲线是

.

3. 已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x,y)0的解”是正确的，

判断下列命题是否正确：

（1）满足方程f(x,y)0的点都在曲线上；

（2）方程f(x,y)0是曲线C的方程；

（3）方程f(x,y)0所表示的曲线不一定是C.

（五）课堂小结

1、

知识与方法归纳：曲线与方程的定义。利用定义判断曲线方程，并在求曲线方程过程中注意除杂补漏。体会解析几何的本质思想数形结合。感受数学知识在实际生活中的广泛应用。树立严谨的治学观

2、反思：曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是曲线的方程的一种几何表示。曲线和方程的这种相互表示，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一结合。曲线与方程的相互转化，丰富了研究几何问题的数学方法，产生了一门新的数学学科---解析几何，便于人们在数字化时代，用计算机工具研究处理几何问题。研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系（方程），并通过代数运算处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质以及研究他们之间的相互关系，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，通过这一部分内容学习，可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．