2.6.1 曲线与方程课件配套优秀

2.6

曲线与方程

2.6.1

曲线与方程

1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点) 2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点) 3．曲线与方程的对应关系．(易错点)

[基础·初探]

教材整理

曲线的方程

方程的曲线

阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题．

1．方程与曲线的定义

在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：

如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．

2．方程与曲线的关系

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f(x，y)＝0就是曲线的方程．(

) (2)如果f(x，y)＝0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．(

) (3)若曲线C上的点满足方程f(x，y)＝0，则坐标不满足方程f(x，y)＝0的点不在曲线C上．(

) (4)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．(

) (5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1.(

) 【答案】

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

m2．点A2，－m在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，则m＝________. 118【解析】

据题意，有4m2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或－5. 18【答案】

2或－5

3．方程|y|＝|2x|表示的曲线是________．

【解析】

∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x，表示两条直线．

【答案】

两条直线

4．已知曲线C的方程为x2－xy＋2y－7＝0，则下列四点中，在曲线C上的点有________(填序号)．

①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．

【解析】

把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．

【答案】

①

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

曲线与方程概念的理解

(1)判断点A(－4,3)，B(－32，－4)，C(5，25)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；

3(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N，n2在曲线C上，求m，n的值．

【精彩点拨】

由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．

【自主解答】

(1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；

把点B(－32，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．

把点C(5，25)的坐标代入x2＋y2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．

3(2)因为点M(m，2)，N，n在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的23113解，所以m2(m2－1)＝2×1，4×－4＝n2(n2－1)，解得m＝±2，n＝±或±22. 

1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．

(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；

(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点

或方程中的参数．

2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．

[再练一题]

1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．

①方程f(x，y)＝0的曲线是C；

②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；

③f(x，y)＝0是曲线C的方程；

④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．

【解析】

只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．

【答案】

②

由方程确定曲线

方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？

【精彩点拨】

由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．

【自主解答】

方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，

而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，

∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，

∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1. ∴方程表示点(1，－1)．

曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.

[再练一题]

2．方程(x＋y－1)x－1＝0表示什么曲线？

x－1≥0，【解】

方程(x＋y－1)x－1＝0等价于或x－1＝0，即x＋yx＋y－1＝0－1＝0(x≥1)或x＝1. 故方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).

点与曲线的关系及应用

(1)点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值是________．

(2)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，则实数k的取值范围是________．

【精彩点拨】

(1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a，－a)在曲线上，则点(a，－a)适合方程，把k用a表示出来，利用求值域的方法得k的范围．

【自主解答】

(1)因为点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，

所以a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0，解得a＝－1或－5. (2)∵曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，

∴a2＝－a2＋2a＋k，

121a－∴k＝2a－2a＝2－，

2221∴k≥－2，

1∴k的取值范围是－2，＋∞. 1【答案】

(1)－1或－5

(2)－2，＋∞



判断点与曲线位置关系的方法

如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标为(x0，y0)．

(1)点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)＝0上⇔f(x0，y0)＝0.

(2)点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)＝0上⇔f(x0，y0)≠0.

[再练一题]

3．若点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，则m的值为________.

【导学号：09390055】

【解析】

∵点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，∴m－m2＝0，

解得m＝0或m＝1. 【答案】

0或1 [探究共研型]

曲线与方程的关系

探究1

怎样理解曲线与方程的概念？

【提示】

定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．

曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．

探究2

理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？

【提示】

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．

方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0的曲线经过点A(0，－3)，75B(0,4)，C3，－4，D(8,0)中的________个点．

【精彩点拨】

方程表示两条直线x－4y－12＝0和x＋2y－8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x＋2y>0. 【自主解答】

由对数的真数大于0，得x＋2y>0. 75∴A(0，－3)，C3，－4不符合要求；

将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求．

【答案】

2

点与实数解建立了如下关系：C上的点x0，y0fx，y＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.

[再练一题]

4．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，则点P与l，C的关系是________．

【解析】

由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P∉l；

又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，

∴点P在曲线C上，即P∈C. 【答案】

P∉l，P∈C

[构建·体系]

1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．

①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；

②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0；

③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；

④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0. 【解析】

因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．

【答案】

④

2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的________条件.

【导学号：09390056】

【解析】

∵f(x0，y0)＝0，可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0，

∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．

【答案】

充要

3．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为_______________________．

1【解析】

∵P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，∴4－9a＝1，解得a＝3. 1【答案】

3

4．如图2-6-1中，方程表示图中曲线的是________．

图2-6-1 【解析】

∵x2＋y2＝1表示单位圆，故①错；x2－y2＝0表示两条直线y＝x和y＝－x，故②错；lg x＋lg y＝0可化为xy＝1(x>0，y>0)，故④错；只有③正确．

【答案】

③

5．方程(x＋y－2)·x2＋y2－9＝0表示什么曲线？

【解】

(x＋y－2)·x2＋y2－9＝0变形为

x＋y－2＝0，x＋y－9＝0或22

x＋y－9≥0，22

表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2－9＝0外面的两条射线．

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)