6.4 反三角函数ppt配套的教学设计方案

上海市卢湾高级中学

周丹

《反正弦函数》

教学设计

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周丹

《反正弦函数》教学设计

教学目标：1.理解反正弦函数的概念；

2.掌握符号arcsinx含义，并会运用；

2.经历反正弦函数概念的建立过程，增强数学概括和推理能力；

3.会用反正弦函数的值表示角的大小，知道数学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的规律. 教学重点：理解反正弦函数的概念

教学难点：掌握arcsinx符号的含义

教学过程：

一、情境设置，提出课题

前面我们学习了正弦函数，什么是正弦函数？对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为ysinx，叫做正弦函数。

1即我们任意给定一个角的值，如，可求出它的正弦值为；那在很多工程测量中，621我们有时知道的是一个角的正弦值，如sinx，要求这个角？

31引例：（1）已知A，求sinA？（2）已知sinA，求A？

6311111它不是个特殊角。而实际生活中，除了sinx，还有sinx，，甚至是-等3456100等已知sin值要求角值的例子。即我们任意给定一个y，使正弦值为y的角x怎么求？

转化成我们在第四章第五节中学到的：要由y反解x即是已知一个函数，求此函数的反函数问题。

二、讨论问题，引出概念

问题一：ysinx,xR存不存在反函数？为什么？（不存在。给定一个y，可以对应多个x.) [复习]存在反函数的充要条件：自变量x和因变量y是一一对应的。

[复习]反函数概念：对yf(x)，定义域为D，值域为A，若对A中的任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足yf(x)，这样得到的x关于y的函数叫做1yf(x)的反函数。（记作xf(y)。）

※学生讨论：那怎么办呢？

有同学说，既然x与y不是一一对应，我就选取某段区间让它一一对应。如sinx1，3

1

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根据图像可以看到有这么多个x1,x2,x3和它对应，我先选取-，求一下反函数值，得2,2到x1，再选取，求一下反函数，得到x2，依此类推。这样一个一个求出是否有必要？我找到了一个x1，其他的x能不能用x1表示？能。（互补，再加2k。）

结论：只要选取某一区间，在该区间能取到1,1的所有正弦值，且存在反函数，就可以用该区间上的一个反函数值表示所有正弦值对应的角值。

问题二：选取的区间哪个更好呢？这个区间需要满足什么条件？

1.

在该区间存在反函数（即自变量x与因变量y一一对应）

2.

区间包含任意给定的正弦值（即y1,1）

可选择的区间有：32,233,，,，0,,等

222222①包含熟悉的所有正锐角；②包含1,1,区间的优点：22哪个更好？理由。选择上的所有函数值；③区间连续且关于原点对称，方便研究反函数的性质。

※

定义概念：

,的反函数叫做反正弦函数. 22记作：yarcsinx.x-1,1.y,

22函数ysinx，x＊记号“arc”的由来：“arc”，圆弧的英文。单位圆中，一段圆弧所对的圆心角的大小就是圆弧的长度。“弧”即是“角”。

三、概念阐述，符号理解

1arcsinx是整体的数学符号. 2.符号arcsinx的意义：

第一层：arcsinx表示一个角（弧度角）；

第二层：是,上的一个角；(arcsinx,) 2222第三层：这个角的正弦值是x．(sin(arcsinx)x,x-1,1）

练习：

说出下列各式的含义.

2

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111？

(2)arcsin

(3)arcsin

23211（1）说出arcsin的含义.

即表示,内正弦值为的角. 222211（2）说出arcsin的含义.

即表示,内正弦值为的角。

3322(1)arcsin（3）arcsin21是否正确？

21,1

arcsin2无意义. 四、概念辨析，简单运用

例1口头求值：

(1)

arcsin13



；

(2)arcsin0

；

(3)arcsin()

；221

21-

2-

课后完成特殊正弦值的反正弦函数值表：

x

1

arcsinx



23

2

32

2

40

-

60



62

2-

4-3

2-

3-1

-

2

例2用反正弦函数值表示下列角：

(1)4

；

(2)6

；

(3)2

. 3例3用反正弦函数值表示下列角A的大小：

1，A[,]，则A

；

3221(2)若sinA，A[0,]，则A

；

31(3)若sinA，A-，0，则A

. 3(1)若sinA例4判断下列各式是否一定成立？并说明理由. (1)

arcsin2

(2)sin(arcsin1)1

(3)sin(arcsinx)arcsin(sinx)

(4)arcsin(sinx)x

五、归纳小结，课后思考

1.回顾反正弦函数的定义；

2.说说你对arcsinx符号的认识；

3.回顾反正弦函数值表示角的过程. 1.问答：反正弦函数是不是正弦函数的反函数？不是。是ysinx,x2.对arcsinx符号的认识

3 

,的反函数。22

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首先，是引入的一种新的运算符号，和logax、x等一样；是为了去表示非特殊正弦值所对应的角而引入的求逆运算，对ysinx已知y去反解x的表示结果；其次，arcsinx表示的是一个弧度角，且是在需要x1. ,上的角，其正弦值为x；最后，arcsinx要有意义，22课后思考

反正弦函数的图像是怎样的呢？如何得出？

课后作业

课后练习P1081-4题

六、板书设计

七、疑点分析

1.选取作为反正弦函数的定义区间，一定需要单调吗？

不需要。

2.选取区间的条件是否一定要包含1,1的所有函数值？

不一定。仅取定义在区间0,据三角比值进行换算。

3.求反正弦函数值的思想方法与已学过的求平方根、对数的思想方法是否相同？

是相同的。

例如：在对求平方根运算还不太熟悉时，如求169的值，考虑求满足x169的x的正值；在对对数运算还不太熟悉时，如求log232的值，考虑求满足232的x的值；

那在对反正弦函数还不太熟悉时，如求arcsinx上的反正弦函数也可以，则函数值为1,0时需要根2233的值，考虑求满足sinx，22x,的x的值。

224.引入符号“arc”的作用

数学里arc是反三角函数的符号，适用于表达不特殊的角的大小，我们知道特殊角如30°的tan值，sin值和cos值都是一个特殊的数，但是在解决一些题的时候会出现某一个角的三角函数值不特殊，我们又没有反三角函数表，所以不清楚这个角的大小，arc的作用就是表示这种不特殊的角，其中涉及增减性的问题。引自互动百科

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