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三角比的和差化积（含教学反思）

上海市建平中学

王兆龙

教材分析

三角比的和差化积是理科的定向拓展内容，是将三角比的和差转化为乘积的一组公式。利用积化和差公式可以推导出和差化积公式。与两角和差的正、余弦公式相比，和差化积公式对问题形式的要求更低，变化也更灵活，常用于处理非特殊角的三角比的和差问题。积化和差公式与和差化积公式的运用对提高思维的灵活性有重要作用。

学情分析

本次上课班级是建平中学的高一C2班，由第一学期1、2、8、10四个班级中数学成绩优异的同学组成。本课时以教材中内容为主，以三角形中的恒等式作为C班拓展内容，提高公式的运用能力。

教学目标

1．

推导三角比的和差化积公式；

2．

运用公式求值、化简、证明；

3．

培养从不同角度观察、分析、解决问题的能力和探究意识。

教学重点、难点

教学重点：和差化积公式的推导和运用。

教学难点：公式的选择与灵活运用。

教学过程

1.

复习与引入

回顾积化和差公式。

利用积化和差公式推导和差化积公式，指出公式特征。

2. 公式的初步运用

例1.

化简下列各式：

（1）sin5sin；

1212（2）sin15sin152sincos15；

（3）cos3cos22cos（4）cos5cos；

22cos．

33

556解：（1）原式2sin1212cos12122sincos；

22462（2）

15151515原式2sincos2sincos1522（3）原式2cos（4）

62sin23+2325cos=2coscos；

222233sin332sinsin3sin．

原式2sin223设计意图：熟悉和差化积公式。

例2.

求值：coscos解：

22cos．

3322原式coscoscos33222233cos33

cos2cos222cos2coscos30.设计意图：熟悉和差化积公式，并与直接两角和差的余弦展开作比较，前者更迅捷。

练习. 求证下列各式：

（1）sinsintancot；

sinsin22sinxsinyyxcot．

cosxcosy2（2）证明：（1）sinsin22tancot；

sinsin2sincos22222sincos

xyxycossinxsiny22cotyx．

cosxcosy2sinxysinxy2222sin设计意图：运用公式进行简单的证明。

3. 公式的综合运用

例3. 求证：cos2cos2sinsin．

证法1：（和差化积）

cos2cos2coscoscoscos

2cos22222cossin2cossin2222sinsin.cos2sinsin

证法2：（先降幂，再和差化积）

cos2cos21cos21cos2221

cos2cos2

2122222sinsin222sinsin.

证法3：（积化和差）

sinsin1coscos2

。

1cos2cos22cos2cos2.

证法4：（两角和与差的正弦）

sinsinsincoscossinsincoscossin

cos2sin2sin2cos2

cos21cos21cos2cos2cos2cos2.

设计意图：运用公式进行较复杂的证明，将和差化积公式与二倍角公式结合使用。能够从不同的角度入手解决问题，并根据问题的具体形式选择不同的公式。

点评：本例中出现了同名三角比的和——可用和差化积；出现了两个三角比的积，可用积化和差；可能遇到次数上的问题——可考虑升幂或降幂，这些都是三角变换的常用方法。

例4. 求证：在△ABC中，cosAcosBcosC14sin

证明：

ABCsinsin．

222cosAcosBcosCABABCcos12sin2222CABAB

2sincos

cos1222ABABABABC222212sin2sinsin222ABC14sinsinsin.2222cos也可利用积化和差公式从右到左证明：

ABCsinsin222ABABC12coscossin222ABCC12cossin2sin2

222ABCABCcosCsinsin22cosAcosBcosC.14sin

设计意图：灵活运用和差化积公式与积化和差公式，并结合诱导公式，证明三角形中的恒等式，从而达到熟练、综合地运用公式的目的。

点评：三角形中类似于本例中的三角比的和差与积的关系还有很多：

sinAsinBsinC4cosABCcoscos；

222cos2Acos2Bcos2C12cosAcosBcosC；

sin2ABCABCsin2sin212sinsinsin，等等。

222222此类问题一般都是利用和差化积或积化和差完成和差式与乘积式之间的转化。运用和差化积公式时，需注意公式特征：同系数、同名三角比的和差才能进行和差化积，再利用三角

形的内角和为与诱导公式完成同名三角比的转化即可。此外，适当的降幂也是必要的。

4.

课堂练习

（1）

求值：sin35cos35．

cos80cos401sin70sin35cos3512解：．

cos80cos402cos60cos202

（2）求值：cos24sin6cos72．

解：

cos24cos24

cos36sin6cos96cos72cos72cos72cos72

2cos60cos362cos18cos36cos72cos902cos18cos54cos18cos542cos181.2也有问题，其处理方式与cos36cos72类似，例如：

计算下列各式：

24cos；

55246coscos（2）cos；

777242ncoscos（3）cosnN．

2n12n12n1（1）cos

对于角度成等差数列的多个余弦求和的问题，用公差的一半的正弦或余弦相乘，再利用积化和差公式相互抵消是处理此类问题的一般方法。

5. 小结：公式及其特征回顾；三角恒等变形中公式选择的常用思路。

6. 作业：有效作业。

7. 教学反思：

（1）对公式特征的剖析不到位。除了次数、系数、同名之外，应点出为什么要引入公式以及何时应用公式。三角公式的应用有三个大方向：变形、变角、变名。和差化积公式作为两

角和差的正余弦所导出的公式，主要作用在于变角，从而利用公式进行特殊角的变化，也包括和差与积形式上的变化，是应用公式的原因。

（2）教师讲的太多。比如公式特征，比如一道题之后的心得、总结、体会，最好由学生完成。在思考、探索的过程中学生可以得到更多的收获。上课时这些大多由我自己完成，学生只是被动接受，从理解、记忆、吸收来讲效果都未必很好。

（3）关于引入和小结。每个例题结束之后应小结一下，一堂课结束之后也要有一个小结。而且最初的引入起点要低，课堂中逐步深入，并且有一个不错的小结作为一堂课的收尾。整个课堂的安排还不是非常到位。

（4）板书要加强。板书设计要想好，不能只当作草稿纸来用。