第四章 圆与方程（通用）教学设计

《圆的标准方程》教学设计

教学目标

(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题．

(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．

教学重点和难点

重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．

难

点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．

教学过程设计

(一)导入新课，教师讲授．

同学们，前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．

什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．

“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”．

定点就是圆心，定长就是半径．

根据圆的定义，我们来求圆心是c(a,b)，半径是r的圆的方程．(引导学生推导）

设 M(x,y)是圆上任意一点，圆心坐标为(a,b)，半径为r．

则│CM│=r,

22

2

两边平方． (x-a)+(y-b)=r,

我们得到圆的标准方程，

这就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．

如果圆的圆心在原点．O(0,0)．即a=0．b=0．

问题1．说出下列圆的方程：

(1)圆心在点C(3, -4), 半径为7. (2) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3). 问题2 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：

(1) (x + 7)+ ( y

 4) = 36 (2) x+ y 4x + 10y + 28 = 0 (3) (x

 a)+ y

= m

例1．写出圆心为C(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点 m1(5.-7)， m2(-5,-1) 是否在这个圆上。

跟踪训练

已知两点M(3,8)和N(5,2)． (1)求以MN为直径的圆C的方程； 2 222 2 2 2

(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关

系？

点与圆的位置关系: (x0-a)+(y0-b)>r时,点M在圆C外

(x0-a)+(y0-b)=r时,点M在圆C上

(x0-a)+(y0-b)

例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. (二)学生课堂练习

1.点(2a, 1 

a)在圆x+ y= 4的内部,求实数

a 的取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程：

（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x-y+1=0上的圆的标准方程。

（2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。

（3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的直线的方程。

1、课本练习题1．(1)x+y=9;(2)(x-3)+(y-4)=5;

(3)(x-8)+(y+3)=25．

2、课本练习题2．x+y=196．

222222222 2 222222222

(三)教师讲授，师生研究

下面我们来研究圆的切线问题：

(1)已知切点坐标，求过这切点的切线方程．

例1 已知圆的方程是x+y=r，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程．

[分析]切线是直线，已知切线过切点，因此应从点斜式考虑，连接圆心O与切点M，切线l⊥OM，OM的斜率可求出，则切线的斜率l也可求出，由点斜式可得到切线的方程．

222

解：

设切线l的斜率为K，切线l：y-y0=K(x-x0),

∴切线l的方程是

这个公式很重要，要熟记其特征与各个字母的含义．

(2)已知切线的斜率，求切线的方程．

小结．圆的切线的求法．

(1)已知切点求切线，把切点(x0，y0)坐标代入公式x0x＋y0y=r即得到切线方程．但这种代法对同学们来讲，目前只适用于圆心在原点的圆．

(2)已知斜率求切线，可设切线的斜截式y=kx＋b，代入圆的方程，由△=0，求出截距b．这种求法适用于圆心在原点的圆，计算量较小．

(3)过圆外一点作圆的切线，把切线高为点斜式，根据圆心到切线的距离等于半径这一基本性质，确定斜率，得到切线．这一求法较有普遍性，同学们要牢牢掌握，圆心不在原点时，用起来方便．

(四)课时小结

1.圆的标准方程

2.点与圆的位置关系

3.求圆的标准方程的方法：

①待定系数法

②几何法

(五)作业．

习题4.1 1

2