1.1.1 命题特级教师教学实录

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1．1.1

命

题

【学习目标】

1．了解命题的概念．

2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式．

【学法指导】

学习中要通过命题的一般形式把握命题，从命题的工具作用认识命题，不要过多地纠缠在判断一个语句是不是命题上，只要求能够从课本的例子中了解命题的概念就可以了. 【知识要点】

1．命题：一般地，我们把用______语言、符号或式子______________表达的，可以____判断真假________的陈述句叫做命题．

2．命题的真假：判断__为真____的命题叫做真命题，判断___为假_____的命题叫做假命题．

3．命题的形式：在数学中，“____若p，则q________”是命题的常见形式，其中p叫做命题的____条件____，q叫做命题的____结论____．

【分类探究】

探究点一

命题的概念及分类

问题1

我们在初中已经学过许多数学命题，你能举出一些数学命题的例子吗？当时是怎么定义命题的？

答案

三边相等的三角形为等边三角形．判断一件事情的句子．

问题2

观察下列语句的特点：

(1)两个全等三角形的周长相等；

(2)5能被2整除；

(3)对顶角相等；

(4)今天天气真好啊！

(5)请把门关上！

(6)2是质数吗？

(7)若x＝2，则x2＝4；

(8)3＋2＝6. 回答：①以上有几个命题？②命题必须具备什么特征？

答案

①5个．其中(1)(2)(3)(7)(8)都是．②是陈述句且能判断真假．

问题3

数学中的定义、公理、定理都是命题吗？

答案

是．

结论：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

问题4

怎样判断一个命题是真命题还是假命题？

答案

要判断一个命题是真命题，要从条件出发，经过严格的推理论证推出结论成立．在判断时，要有推理依据，综合各种情况作出判断．要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．

例1

判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．

(1)求证3是无理数．

(2)若x∈R，x2＋4x＋4≥0.

(3)你是高一的学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果．

(5)60x＋9>4. 解

(1)是祈使句，不是命题．

(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，可以判断真假，是命题，且是真命题．

(3)是疑问句，不是命题．

(4)是真命题，有的人喜欢苹果，有的人不喜欢苹果．

(5)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．

小结

判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件：“是陈述句”和“可以判断真假”，而祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．

跟踪训练1

判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题？

(1)末位是0的整数能被5整除；

(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；

(3)两直线平行，则斜率相等；

(4)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；

(5)余弦函数是周期函数吗？

解

(1)是命题，真命题；

(2)是命题，假命题．因为平行四边形的对角线不一定相等；

(3)是命题，假命题．因为两直线的斜率可能都不存在；

(4)是命题，真命题；

(5)不是命题，因为该语句不是陈述句．

探究点二

命题的结构

问题

在数学中，命题的常见形式为“若p，则q”，除此以外，还可用什么形式？

答案

(1)如果p，那么q.(2)只要p，就有q. 例2

把下列命题改写成“若p，则q”的形式：

(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；

(2)斜率相等的两条直线平行；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)钝角的余弦值是负数.

解

(1)若一个整数的各位数数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除；

(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除；

(4)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数．

小结

找准命题的条件和结论是解决这类题目的关键，对于个别问题还要注意大前提的写法．若条件和结论比较隐含，要补充完整．

跟踪训练2

指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假．

(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；

(2)对角线相等的平行四边形是矩形；

(3)相等的两个角正切值相等．

解

(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．

(2)命题“对角线相等的平行四边形是矩形”，即“若一个平行四边形的对角线相等，则该平行四边形是矩

形”．条件p：一个平行四边形的对角线相等，结论q：该平行四边形是矩形，真命题．

(3)相等的两个角正切值相等．

解

(3)命题“相等的两个角正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．条件p：两个角相等，结论q：这两个角的正切值相等，假命题. 【课堂练习】

1．下列语句为命题的是

(

B

) A．对角线相等的四边形

B．同位角相等

C．x≥2

解析

A不是陈述句，C、D无法判断真假．

2．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是___4_____．

解析

①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；

②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；

③当c＝0时不成立；

④菱形的对角线互相垂直．矩形的对角线不一定垂直．

3．把下列命题写成“若p，则q”的形式．

(1)ac>bc⇒a>b；

(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

1(3)当m>时，mx2－x＋1＝0无实数根；

4(4)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；

(5)负数的立方是负数．

解

(1)若ac>bc，则a>b. (2)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2. 1(3)若m>，则mx2－x＋1＝0无实数根．

4(4)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0. (5)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．

【课时小结】

1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变. 【巩固作业】

一、基础过关

1．下列语句中是命题的是

(

) A．周期函数的和是周期函数吗？

B．sin 45°＝1 C．x2＋2x－1>0

D．梯形是不是平面图形呢？

2．下列语句中是命题的为

①空集是任何集合的子集；

②若x>1，则x>2；

③3比1大吗？

(

) D．x2－2x－3<0

④若平面上两条直线不相交，则它们平行；

⑤－⑥x>15. 2＝－2；

A．①②⑥

B．①②④

C．①④⑤

D．①②④⑤

3．下列说法正确的是

(

) A．“正数的对数都是负数”是真命题

B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题

C．“四边形是菱形”是真命题

D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

4．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是

(

) A．若a∥b，则α∥β

B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a、b相交，则α、β相交

D．若α、β相交，则a、b相交

5．下列命题：

①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

7．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是

(

) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

二、能力提升

8．下列命题：

①若xy＝1，则x、y互为倒数；

②对角线垂直的平行四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是________．

9．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是______________，q是________________．

10．给出下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，是真命题的是________．(填序号) 11．判断下列语句是否是命题，并说明理由．

(1)若x＋y是有理数，则x，y均为有理数．

(2)一条直线l与平面α不是平行就是相交．

(3)x2＋2x－3<0.

(

)

12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

(1)等腰三角形的两个底角相等．

(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；

(3)正方形是矩形又是菱形；

(4)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．

三、探究与拓展

13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形).

1.1.1

命题

课后作业参考答案

1．B

2.D

3.D

4.D

5.A

6.B

7.B

8.①④

9．一条直线是弦的垂直平分线

这条直线经过圆心且平分弦所对的弧

10．②④

11．解

(1)当x＝2，y＝－2时，x＋y是有理数．为假，是命题．

(2)直线l与平面α的位置有三种：平行、相交和在平面内．为假，是命题．

(3)在x未赋值之前，不能判断其真假．不是命题．

12．解

(1)若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，真命题．

(2)若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0，真命题．

(3)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．

(4)若一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．

13．x轴，－3－log2x(y轴，3＋log2(－x)或原点，－3－log2(－x)或直线y＝x,2x－3；答案不唯一．)