4.3.2 空间两点间的距离公式优秀说课稿

班级:高一 科目:数学

课题

教学目标

(识记、理解应用、分析、创见) 教学重点

及难点

教学方法

教学反馈

课型

新授

3-2-1 空间两点间的距离公式

知识目标：掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.

能力目标：通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法.

情感目标：体会数形结合的思想,培养学生积极参与、大胆探索的精神.

教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.

启发引导式

板

书

设

计

3-2-1 空间两点间的距离公式

222d=(x2x1)(y2y1)(z2z1)

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一、导入新课

思路1：距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2：我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角22坐标系中,两点之间的距离是d=(x2x1)(y2y1).同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.

二、新知探究

提出问题

①

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

②

设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

③

给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④

同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

⑤

平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？

⑥

试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨：教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维. ①

学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程. ②

解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解. ③

首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长. ④

回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式. ⑤

学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想. ⑥

利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导. 讨论结果: 22①

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),它是利用直角三角形和勾股定理来推导的. ②

如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距222离是d=xyz.

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图1 ③

利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算. 22④

由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是222d=(x2x1)(y2y1)(z2z),即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤

平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面.后者正是前者的推广. ⑥

如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.

图2 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出22|MN|=(x2x1)(y2y1). 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=(x2x1)2(y2y1)2,根据勾股定理,得|P1P2|=|P1H|2|HP2|2=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.因此空间中点222P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=(x1x2)(y1y2)(z1z2). 222于是空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1)(z2z1),它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.

三、应用示例

例1

给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30.

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222解: 设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，|P0P|=30,即(x4)12=30, ∴(x-4)2=25.解得x=9或x=-1. ∴点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).

例2

在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到点N（6，5，1）的距离最小. 2222解: 由已知，可设M（x,1-x,0）,则|MN|=(x6)(1x5)(01)=2(x1)51. ∴|MN|min=51.

3、变式训练在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等. 解: 设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|, (01)2(00)2(z2)2=(01)2(03)2(z1)2, 整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).

例3

△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形. 活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.

解: ∵三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5), 222|AB|=(11)(-21)(-31)=3, 222|BC|=(01)(01)(-51)=32, 222|CA|=(1-0)(-2-0)(-35)=3. 又∵|AB|2+|CA|2=|BC|2, ∴△ABC是直角三角形.

四、课堂小结

1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用. 3、建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.

五、作业

习题2-3 A组6、7.

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