3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案板书设计

附件：教学设计模板

聚焦教学重难点的信息化教学设计

课题名称：直线的倾斜角与斜率

姓 名：

学科年级：

李军

高一

工作单位：

教材版本：

安乡一中

人教A版

一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、这节课的价值以及学习内容的重要性）

这节课是解析几何的第一节课，本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。

二、教学目标（从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的教学目标做出一个整体描述）

教学目标分析

知识与技能

1、正确理解直线的倾斜角概念和倾斜角的唯一性。 2、掌握斜率的定义和斜率公式。

过程与方法

通过教师启发、引导，学生思考、讨论、合作探究得出结论。

情感态度与价值观

1、体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2、学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法：坐标法。

三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）

学生在学习本知识之前对解析几何不甚了解，但有数形结合的基础。从以往的教学经验来看学生不具备数形结合、以数值运算代替图形位置的思想意识。上课时应注意培养数形结合的思想方法。

四、教学策略选择与设计（说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略）

本节课主要以教师提问，学生独立思考、合作探究的形式进行教学。同时用多媒体课件加以辅助。

五、教学重点及难点（说明本课题的重难点）

教学重点与难点

直线的倾斜角与斜率的概念；斜率公式。

六、教学过程（这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语）

教师活动

预设学生活动

设计意图

（一）引言

在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。从本节课开始我们采用另一种研究方法——坐标法来研究几何问题。通过代数运算研学生在听教师叙述时感受数学究几何图形性质，这门科学称为解析几何。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共历史的厚重。

同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，是近代数学的基础之一。

本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。 问题１：请你在平面直角坐标系中画出两条不同直线，说出他们的不同之处。

预设的答案: 图(1)中的两条直线都经过点打出笛卡尔和费马的图片，感受数学的文化底蕴。

o

P , 但“倾斜程度”不同。

图(2)中的两条直线“倾斜程度”相同，但没有公共点。

辅助问题1：直线的倾斜程度是以什么为参照的？

教师引导形成统一的认识:以x轴或y轴

为基准都可以，习惯上以x轴为基准。

辅助问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？

从学生的已有

知识经验出

发，引导学生预设的答案: 辅助问题3：我们除了用两点确定一条直可以用直线上一点和这条直线线外，是否还有另外的方法确定一条直线呢? 对于x轴的“倾斜程度”确定一条直

线。

研究方法。

逐步接受新的预设的答案:

两点确定一条直线；

[设计意图]：

辅助问题4：直线与x轴相交可以形成4个角，你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢？

教师引导形成统一认识:用图中的∠1表示直线的倾斜程度时，这个角就叫做直线的倾斜角。 倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，轴正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角。

规定：当直线l与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

o

问题3：根据定义，倾斜角α的取值范围是什答案：0≤α<180。

么呢? 问题4：平面直角坐标系内一条确定直线的倾斜角α确定吗？且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等吗？且倾斜程度不同的直线，其

倾斜角相等吗？我们可以用哪一个量表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度？

00

练习1：下图中α表示直线l的倾斜角的是(

)

规律方

法

解答本题A．①

B．①②

C．①③

D．②④ 答案

A 练习2：设直线l过坐标原点，它的倾斜角为学生分组讨论，派代表说出答案。

要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．

45，如果将l绕坐标原点按顺时针方向旋转60，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

) A．-15C．60

0 00B．150 0 D．1650 答案

D （三）形成斜率的定义

问题5：生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，你以前学过表示倾斜程度的量吗？ 教师引导：我们也可以用直线的倾斜角的[设计意图]：正切来表示直线的倾斜程度即直线的斜率。

利用学生的已斜率的定义：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。

即

预设的回答：可以用坡角与坡度来表示。坡度的定义是：

有知识经验将几何问题代数化。

ktanα(α900)

教师指出：

1斜率常用小写字母k表示；

○2倾斜角是90的直线没有斜率. ○0

问题6：完成下面的表格。参考公式：α为钝角，则tanαtan(1800α)。 学生填表

基础知识复习

α

k=tanα

30

o45

o60

o120

150

oo（四）由两点确定的直线的斜率公式，初步体会坐标法

问题7：已知直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且倾斜角是锐角，P2在P1上方.试用点P1

、P2的坐标表示直线的斜率k？

学生活动：学生在刚才所画的直线上标记上述条件，由于不同学生的标记方法不同，将他们标记的情况收集整理，得到所有的情况之后再分类讨论，分组合作，分别求解。通过这样的活动使得学生对要解决的问题有一个全面的认识，同时认识到分类讨论和合作学习的必要性。

预设的结论：[设计意图]：将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法思想。

ktanαtanQP1P2

思路分析：根据斜率的定义解决问题，因此首先要构造直角三角形。

QP2QP1y2y1

x2x1

交流完善：辅助问题：

1.各种一般情形得出的结论一致吗？

教师指出：当倾斜角是钝角、P2在P1下方时公式仍然成立。有兴趣的同学可在课后探究。

2.当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论还适用吗？

斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1

x2）的直线的斜率公式是：

学生活动：分组讨论探究

形成结论：当直线垂直于y轴时适

用；当直线垂直于x轴时不适用。

k

y2y1（x1

x2）

x2x1（五）初步应用，巩固双基

例1:如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角、钝角还是其他角？

B y . [设计意图]：巩固本课时所

学的基本知识。

. . . . . A o . . . x

C 解：（略）。

例2.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(

) 答案

C y＋3y＋3解析tan 45°＝kAB＝，即＝4－24－233A．－

B.

C．－1 221，

D．1

练习3：斜率为2的直线经过点A(3,5)、所以y＝－1.

答案

C 解析由题意得kAC＝2，kAB＝2，B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为(

) A．4,0 B．－4，－3 C．4，－3 D．－4,3

练习4：若A、B两点的横坐标相等，则直线

即

－1－3＝2，7－5a－3＝2.

b－5

解得a＝4，b＝－3. AB的倾斜角和斜率分别是(

) 由于A、B两点的横坐标相等，所以A．45°，1 B．135°，－1 C．90°，直线与x轴垂直，倾斜角为90°，不存在 D．180°，不存在

斜率不存在．故选C.

（六）反思小结，提高认识

问题7.请同学们谈谈你在这节课中学到哪些知识、思想方法和解决问题的经验？

预设的回答：

1．明确确定直线位置的几何要素。（两种）

2．理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）。

3．经历了用代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合的数学思想。

七、教学评价设计（创建量规，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）

1．P86练习

设计意图：巩固本课时的基本知识。

2．P89习题3.1A组3，4，5 设计意图：培养学生运用所学知识解决问题的能力。

结束语：本节课是解析几何的第一课，“坐标法”是本课内容蕴含的核心思想方法，也是解析几何研究问题的核心思想方法，通过本节课的研究可见，直角坐标系使几何研究又一次腾飞，几何从此跨入了一个新的时代，让我们给直线插上方程的”翅膀”吧！

八、板书设计（本节课的主板书）

如板书中含有特殊符号、图片等内容，为方便展示，可将板书以附件或图片形式上传。

3.1.1倾斜角与斜率

一、

倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，轴正向与直线

l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角。

规定：当直线l与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

二、斜率的定义：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。

即 ktanα(α900)

x2）的直线的斜率公式是：

三、斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1 ky2y1（x1

x2）

x2x1例1:如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角、钝角还是其他角？

例2.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(

)