3.1直线的倾斜角与斜率（通用）特级教师教学实录

3.1.1直线的倾斜角与斜率

桂平市第三中学

廖雪光

【教材分析】

解析几何是十七世纪数学发展的重大成果之一。它通过引进直角坐标系，建立起了点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，从而将几何问题转化为代数问题。其本质就是用代数方法研究几何问题，解析几何充分体现了数形结合的数学思想

直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧. 本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程具有重要意义。

【学情分析】

在此之前，学生已经学习了很多基本初等函数在平面直角坐标系上的图像，对平面直角坐标系是比较熟悉的，但是从未试过从方程的观点将其放到平面直角坐标系中研究，直线的方程是平面解析几何的

最基本的，最基础的，最适合初学者学习的方程。而直线的倾斜角与直线的斜率是描述直线的最重要元素，所以学好本节课具有十分重要的意义。

【教学目标】

1．知识与技能

（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

（2）理解直线倾斜角的唯一性.

（3）理解直线斜率的存在性.

（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

2．过程与方法

引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.

3．情感、态度与价值观

（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.

（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

【教学重难点】

重点：直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式。

难点：斜率公式的推导.

【教学准备】

PPT、几何画板、用来演示直线的小的长木棒等。

【教学过程】

一、新课导入设计

1、导入一：

如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.

图1

①怎样描述直线的倾斜程度呢？

②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？

图2 ③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？

④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

⑤正切函数的定义域是什么？

⑥任何直线都有斜率么？

⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少? 二、问题活动

①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了. ②考虑正方向。

③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度。

规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的

范围是0°≤α＜180°。

④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念。

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα。

⑤教师介绍正切函数的相关知识。

⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率。

（倾斜角是90°的直线没有斜率）

⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果: ①用倾斜角. ②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率. y2y1⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=x2x1. y2y1⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式x2x1.k=

【典例分析，讲练结合，突出重点】

例1

已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k=tanα＜0时,倾斜角α是钝角; 而当k=tanα＞0时,倾斜角α是锐角; 而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°. 1解:直线AB的斜率k1=7＞0,所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率k2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角. 变式训练

已知A(1,33),B(0,23),求直线AB的斜率及倾斜角. 3323310解:kAB=, ∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°, ∴直线AB的倾斜角为60°. 例2

如果直线l经过点(－1,0)，倾斜角为150°，将直线l绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，求直线l′的倾斜角和斜率．

【分析】

画出草图，标记出变化过程，即可直接求出倾斜角，进而利用公式求出斜率．

【解】

如上图所示．∵直线l的倾斜角为150°，∴绕(－1,0)点逆时针旋转60°后，所

得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°. 3斜率k＝tanα＝tan30°＝3. 【规律方法】

求直线的倾斜角主要是根据定义来求．它的关键是根据题意画出图形．

同步训练

1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

(1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°.

活动:指导学生根据定义直接求解.

解：(1)∵tan0°=0，

∴倾斜角为0°的直线斜率为0. (2)∵tan60°=3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3. (3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在. 点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率. 2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的(

) A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等

D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)

答案：D 例3

(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m,6)、B(1,3m)的直线的斜率为12?

(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)、B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是60°？

【分析】

利用斜率公式列方程求解。

3m－6【解】

(1)k＝＝12，解得m＝－2. 1m(2)k＝tan 60°＝3＝2m－12，

－m－m31－3解得m＝－. 4【规律方法】

求直线的斜率的途径有二：一是利用斜率公式；二是利用倾斜角．我们必须熟练掌握这两种形式．

变式2

已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)．

(1)求直线l的斜率；(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值．

解：(1)当m＝2时，x1＝x2＝2，

∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在．

2－11当m≠2时，直线l的斜率k＝＝. m－2m－22－11(2)∵α＝45°，∴k＝tanα＝1.又∵k＝＝. m－2m－21∴＝1，即m－2＝1，∴m＝3. m－2【课堂小结】

通过本节学习，要求大家：

（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率; （2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；

（3）直线斜率的概念；

（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.

【当堂训练，巩固深化】

1.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线斜率是0,则AC、AB所在的直线斜率之和为（

）

A.23

B.0

C.3

D.23

72.过点（0，3）与点（7，0）的直线l1，过点（2，1）与点（3，k1）的直线l2，与两坐标轴围成四边形内接于一个圆，则实数k为（

）

A.3

B.3

2

C.6

D.6 3.经过两点A（2,1），B（1,m）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（

）

Ａ.m1 m1

11a,0bab0a4.若三点A（2 , 2）,B（）,C（0，）（）共线，则b

Ｂ.m1

Ｃ.1m1

Ｄ.m1或的值等于________。

5.已知直线l的斜角a[0,45](135,180)，则直线l的斜率的取值范围是_________。[来源:Zxxk.Com] 6. 已知点 A (2,3),B ( 3, 2) ，若直线

l

过点 p (1,1) 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k

的取值范围.

11A(2,(t)2),B(2,(t)2)tt7. 已知直线l

过

两点，求此直线的斜率和倾斜角.

【课后作业】

习题3.1

A组3、4、5. 【板书设计】

1.2.1直线的倾斜角和斜率

概念：

|典例：

| 练习:

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|草稿:

要点：

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【教学反思】