1.4.3 含有一个量词的命题的否定主要内容及教案内容

SCH南极数学同步教学设计

人教A版选修2-1第一单元《常用逻辑用语》

1.4.3含有一个量词的命题的否定（教学设计）

教学目标

知识与技能目标

（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

情感态度价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

教学重点与难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学过程：

一、复习回顾、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、师生互动、讲解新课

问题1（课本P24探究）：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x2-2x+1≥0

分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

（3）xM,p(x)，否定：xR，x2-2x+1<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 问题2：写出命题的否定

2（1）p：

x∈R，x＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1） xR，x2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：痧U(A

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B)UA?B)UB,痧U(AUA?UB

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1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

p且q P或q 词语的否定

不是

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

p或q p且q

词语

必有一个

至少有n个

至多有一个

所有x成立

所有x不成立

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个

定

有

个

个

成立

成立

例1（课本P24例3）：写出下列全称命题的否定

（１） p：所有能被3整除的整数都是奇数；

（２） p：每一个四边形的四个顶点共圆；

（３） p：对x∈Z，x2个位数字不等于3；

变式训练1：

写出下列全称命题的否定,并判断其真假.1p:对所有的正实数x,都有xx;

2q:xR,2x33x≥17;3r:xR,sinxcosx≤2.

例2(课本P25例4)写出下列特称命题的否定

（１） p： x∈R, x2＋2x＋2≤0；

（２） p：有的三角形是等边三角形；

（３） p：有一个素数含三个正因数。

变式训练2：写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1） P：若

x＞y，则5x≤5y；

假命题

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否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

例3

已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．

解

在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，

f－1≤0，4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，

即

2f1≤0，4－2p－2－2p－p＋1≤0，

即3p≥2或p≤－3.1p≥1或p≤－，2

3∴p≥或p≤－3. 23故p的取值范围是－3

通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．

变式训练3

若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是

．

答案

(－2，－1)∪(1，2) a2－1>0，a<－1或a>1，解析

依题意有0

a－1<1－2

－2

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

四、【课时作业】

一、选择题：

1．命题“∀x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是(

) A．∃x∈R，x2－x＋2≥0

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B．∀x∈R，x2－x＋2≥0 C．∃x∈R，x2－x＋2<0 D．∀x∈R，x2－x＋2<0 答案

C 解析

“≥”的否定是“<”，全称命题的否定是特称命题．

2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“非p”形式的命题是(

) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根

答案

C 解析

命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．

3．下列特称命题是假命题的是(

) A．存在x∈Q，使x4＋x2＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

答案

B 13解析

对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立．

244．命题“一次函数都是单调函数”的否定是(

) A．一次函数都不是单调函数

B．非一次函数都不是单调函数

C．有些一次函数是单调函数

D．有些一次函数不是单调函数

答案

D 解析

命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．

5．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(

) A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x20≥0 2D．存在x0∈R，使得x0<0 答案

D 解析

因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，綈p(x0)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．

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a6．已知命题p：“a＝1”是“∀x>0，x＋≥2”的充要条件，命题q：∃x0∈R，x20＋x0－1>0.则下列结论x中正确的是(

) A．命题“p∧q”是真命题

B．命题“p∧綈q”是真命题

C．命题“綈p∧q”是真命题

D．命题“綈p∨綈q”是假命题

答案

C a1解析

a＝1⇒x＋＝x＋≥2xx1x×＝2，

xa显然a＝2时也能推出“∀x>0，x＋≥2”成立，

xa所以“a＝1”是“∀x>0，x＋≥2”的充分不必要条件，

x故p是假命题，而q是真命题，故选项C正确．

二、填空题：

三、解答题：

7、（课本P26习题1.4A组

NO：3）

8、（课本P26习题1.4B组

NO：1）

9．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．

解

由已知得綈p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．

f1≤0∴设f(x)＝x＋2ax＋2－a，则，

f2≤02

1＋2a＋2－a≤0∴，解得a≤－3，

4＋4a＋2－a≤0

∵綈p为假，∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．

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