3.1.2 空间向量的数乘运算优质课教案推荐

3．1.2 空间向量的数乘运算

空间向量的数乘运算

[提出问题] ―→―→

作向量AB＝a＋a＋a，CD＝(－a)＋(－a)＋(－a)(a≠0)．

―→问题1：AB的模是a的模的几倍？

提示：3倍．

―→问题2：AB的方向与a的方向一致吗？

提示：一致．

―→―→问题3：|CD|是|a|的几倍？CD与a的方向有怎样的关系？

提示：3倍，相反．

[导入新知] 定义

λ＞0 λ＜0

λ＝0

分配律

结合律

[化解疑难] 对空间向量数乘运算的理解

(1)任何实数与向量的积仍是一个向量，当λ＝0时，λa＝0. (2)向量数乘运算满足以下运算律：

λ(μ

a)＝λμ

a，λ(a＋b)＝λa＋λb. (3)运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘

λa与向量a的方向相同

λa与向量a的方向相反

λa＝0，其方向是任意的

λ(a＋b)＝λa＋λb

λ(μa)＝(λμ)a

λa的长度是a的长度的|λ|倍

几何

意义

运算

律

1

共线、共面向量

[提出问题] 空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．

问题1：向量a与b共线的条件是什么？

提示：存在唯一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？

提示：一定；不一定．

问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)? 提示：不能．

[导入新知]

共线(平行)向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互共面向量

定义

相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量

充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 共线(平行)向量

如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数―→―→t，使OP＝OA＋ta，①其中a叫做直推

论

线l的方向向量，如图所示．

平行于同一个平面的向量叫做共面向量

若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

共面向量

如图，空间一点P位于平面MAB内的充要―→条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB

，或对空间任意一点O来说，―→―→―→―→有OP＝OM＋xMA＋yMB

―→―→若在l上取AB＝a，则①式可化为OP

―→―→＝OA＋tAB

―→―→

2

[化解疑难] 对共线、共面向量的理解

(1)共面向量不具有传递性．

(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a≠0不可遗漏．

(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．

(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面．

(5)向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．

空间向量的线性运算

[例1] 已知正四棱锥P­ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．

―→―→―→―→(1)OQ＝PQ＋yPC＋zPA；

―→―→―→―→(2) PA＝xPO＋yPQ＋PD. [解] 如图．

―→―→―→―→1―→―→(1)∵OQ＝PQ－PO＝PQ－(PA＋PC) 2―→1―→1―→＝PQ－PC－PA，

221∴y＝z＝－. 2(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，

―→―→―→―→―→―→∴PA＋PC＝2PO，PC＋PD＝2PQ，

―→―→―→―→―→―→∴PA＝2PO－PC，PC＝2PQ－PD，

―→―→―→―→∴PA＝2PO－2PQ＋PD，

3

∴x＝2，y＝－2. [类题通法] 利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法．一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．

应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．

[活学活用] 如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．

―→1―→1―→(1)化简：A1O－AB－AD；

22―→2―→―→―→―→(2)设E是棱DD1上的点，且DE＝DD1，若EO＝xAB＋yAD＋3zAA1，试求实数x，y，z的值．

―→1―→―→―→―→―→解：(1)原式＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AO＝A1A. 2―→―→―→1―→―→―→2―→(2) EO＝AO－AE＝(AB＋AD)－AD－AA1

231―→1―→2―→＝AB－AD－AA1，

223112∴x＝，y＝－，z＝－. 223

空间向量共线问题

[例2] 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共―→―→面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE与MN是否共线．

[解] 因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形―→ABEF都是平行四边形，

―→―→―→―→1―→―→1―→所以MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB. 221――→―→―→―→―→→―→―→1―→又因为MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

22―→―→―→―→以上两式相加得CE＝2MN，所以CE∥MN，

―→―→即CE与MN共线．

[类题通法]

4

(1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b. (2)当两个空间向量共线时，即存在实数λ，使得a＝λb成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值．

[活学活用] 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

―→―→―→2点E在A1D1上，且A1E＝2ED1，点F在对角线A1C上，且A1F＝―FC→.求证：E，F，B三点共线．

证明：设―AB→＝a，―AD→＝b，―AA→1＝c. ∵―A→―→―A→2―→1E＝2ED1，1F＝3FC，

∴―A→E＝2―→―→2―3AD→111，A1F＝5A1C，

∴―A→2―→21E＝3AD＝3b，

―A→2―→―→1F＝5(AC－AA1) ＝25(―AB→＋―AD→－―AA→1) ＝25a＋25b－25c. ∴―EF→＝―A→―A→1F－1E

＝2425a－15b－5c

＝25a－23b－c. 又∵―EB→＝―EA→―→＋―AB→1＋A1A

＝－23b－c＋a

＝a－23b－c，

∴―EF→＝2―5EB→.又∵EF∩EB＝E，

∴E，F，B三点共线.

35

空间向量共面问题

―→1―→1―→1―→[例3] 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足OM＝OA＋OB＋OC. 333―→―→―→(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；

(2)判断M点是否在平面ABC内．

―→―→―→―→[解] (1)∵OA＋OB＋OC＝3OM，

―→―→―→―→―→―→―→―→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)＝BM＋CM，

―→―→―→―→―→∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC，

―→―→―→∴向量MA，MB，MC共面．

―→―→―→(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，

∴点M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．

[类题通法] (1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明．

(2)向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．

[活学活用] 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

(1)E，F，G，H四点共面．

(2)BD∥平面EFGH. 证明：如图，连接EG，BG.

―→―→―→(1)因为EG＝EB＋BG

―→1―→―→＝EB＋(BC＋BD) 2

6

―→―→―→＝EB＋BF＋EH

―→―→＝EF＋EH，

由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．

―→―→―→1―→1―→1―→(2)因为EH＝AH－AE＝AD－AB＝BD，所以EH∥BD. 222又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

5.空间向量共线、共面充要条件的应用

[典例] (8分)空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且CF＝CB，CG＝CD. 求证：四边形EFGH为梯形．

[解题流程] ―→2―→―→2―→33

[规范解答] ―→―→―→―→―→―→―→1―→―→1―→根据题意，∵EH＝AH－AE，BD＝AD－AB，又∵AH＝AD，AE＝AB，

22―→1―→∴EH＝BD.(2分)

①

2―→―→―→―→―→―→―→2―→―→2―→∵FG＝CG－CF，BD＝CD－CB，又∵CG＝CD，CF＝CB，

33

7

[活学活用] ―→―→―→对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，试判断EF与BC，AD的关系．

解：如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，利用多边形加法法则可得，

―→―→―→―→EF＝EA＋AD＋DF，

―→―→―→―→EF＝EB＋BC＋CF. ―→―→―→―→又∵EA＝－EB，DF＝－CF，

―→―→―→―→∴EF＝－EB＋AD－CF，

―→―→―→∴2EF＝AD＋BC，

―→1―→1―→所以EF＝AD＋BC，

22―→―→―→∴EF与BC，AD共面．

[随堂即时演练] ―→1―→―→1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB＋(BD＋BC)等于(

) 2―→A．AG

―→C．BC ―→B．CG

1―→D.BC

2―→1―→―→―→1―→―→―→―→解析：选A AB＋(BD＋BC)＝AB＋×(2BG)＝AB＋BG＝AG. 22―→―→1―→1―→2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则33x的值为(

) A．1

B．0 8

C．3 1D.

311―→―→1―→1―→解析：选D ∵OM＝xOA＋OB＋OC，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，33331即x＝. 3―→1―→3―→―→3．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则AB＋BC－DE－AD22化简的结果为________．

解析：延长DE交边BC于点F，

―→1―→―→则有AB＋BC＝AF，

23―→―→―→―→―→DE＋AD＝AD＋DF＝AF，

2―→1―→3―→―→故AB＋BC－DE－AD＝0. 22答案：0 ―→―→―→4．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB＝e1＋ke2，BC＝5e1＋4e2，DC＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是________．

―→―→解析：∵BC＝5e1＋4e2，DC＝－e1－2e2，

―→―→―→∴BD＝BC＋CD＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝6e1＋6e2. ∵A，B，D三点共线，

―→―→∴AB＝λBD，

∴e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)．

∵e1，e2是不共线向量，

1＝6λ，∴k＝6λ，

∴k＝1. 答案：1 5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证―→―→―→明：向量A1B，B1C，EF是共面向量．

―→―→―→―→解：EF＝EB＋BA1＋A1F

1―→―→1―→＝B1B－A1B＋A1D1

22

9

1―→―→―→＝(B1B＋BC)－A1B

21―→―→＝B1C－A1B. 2―→―→―→由向量共面的充要条件知，A1B，B1C，EF是共面向量．

[课时达标检测] 一、选择题

1．下列命题中正确的个数是(

) ①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面；

③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. A．0

C．2 B．1 D．3 解析：选A ①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；

②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③当b为零向量，a不为零向量时，λ不存在．

―→―→―→2．已知空间向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是(

) A．A，B，D C．B，C，D B．A，B，C

D．A，C，D

―→―→―→―→解析：选A ∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，

∴A，B，D三点共线．

―→―→―→3．若空间中任意四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则(

) A．P∈AB B．P∉AB

C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对

―→―→―→―→―→解析：选A 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以OP＝(1－n)OA＋nOB，即OP－OA―→―→―→―→―→―→＝n(OB－OA)，即AP＝nAB，所以AP与AB共线．又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB. 4．在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是(

) ―→―→―→―→A．OM＝3OA－2OB－OC

10

―→―→―→―→B．OM＋OA＋OB＋OC＝0 ―→―→―→C．MA＋MB＋MC＝0 ―→1―→―→1―→D．OM＝OB－OA＋OC

42―→―→―→解析：选C ∵MA＋MB＋MC＝0，

―→―→―→∴MA＝－MB－MC，

∴点M与点A，B，C必共面．

―→1―→―→―→―→―→5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则(

) 41A．x＝1，y＝ 21C．x＝1，y＝ 31B．x＝，y＝1 21D．x＝1，y＝

41―→―→―→―→1―→―→1―→―→解析：选D AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)．所以x＝1，y＝. 444二、填空题

12126．化简：(a＋2b－3c)＋5a－b＋c－3(a－2b＋c)＝________. 232313105101105解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝＋－3a＋1－＋6b＋22323232－3＋10－3c＝5a＋9b－7c. 23626597答案：a＋b－c

626―→―→―→1―→―→7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝3________. ―→―→―→―→1―→―→1―→―→2―→1―→―→解析：CD＝CB－DB＝CB－AB＝CB－(CB－CA)＝CB＋CA，又CD

＝33331―2→―→CA＋λCB，所以λ＝. 332答案：

38．有下列命题：

―→―→①若AB∥CD，则A，B，C，D四点共线；

―→―→②若AB∥AC，则A，B，C三点共线；

11

21③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；

510④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0. 其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．

―→―→解析：根据共线向量的定义，若AB∥CD，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①21―→―→―→―→错；AB∥AC且AB，AC有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4－e1＋e2＝－5104b，所以a∥b，故③正确；易知④也正确．

答案：②③④

三、解答题

9.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

―→―→(1)CB＋BA1；

―→―→1―→(2)AC＋CB＋AA1；

2―→―→―→(3)AA1－AC－CB. ―→―→解：(1)CB＋BA1＝

―→CA1. (2)因为点M是BB1的中点，

―→1―→所以BM＝BB1. 2―→―→又因为AA1＝BB1，

―→―→1―→―→―→―→所以AC＋CB＋AA1＝AB＋BM＝AM. 2―→―→―→―→―→―→(3)AA1－AC－CB＝CA1－CB＝BA1. ―→―→―→向量CA1，AM，BA1如图所示．

12

10.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．

(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；

(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．

证明：

(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，

―→2―→―→2―→―→2―→―→2―→∴M，N，Q，R是所在边的中点，且PE＝PM，PF＝PN，PG＝PQ，PH＝PR. 3333由题意知四边形MNQR是平行四边形，

―→―→―→―→―→―→∴MQ＝MN＋MR―→＝(PN－PM)＋(PR－PM) 3―→―→3―→―→＝(PF－PE)＋(PH－PE) 223―→―→＝(EF＋EH)．

2―→―→―→3―→3―→3―→又MQ＝PQ－PM＝PG－PE＝EG. 222―→―→―→∴EG＝EF＋EH，

由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．

(2)平行．证明如下：

―→3―→―→―→由(1)得MQ＝EG，∴MQ∥EG，

2―→∴EG∥平面ABCD. ―→―→―→3―→3―→又MN＝PN－PM＝PF－PE

223―→―→―→＝EF，∴MN∥EF.即EF∥平面ABCD. 2又∵EG∩EF＝E，

∴平面EFGH与平面ABCD平行．

13