习题2.3优秀公开课教案

课题

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教学重点

教学难点

教法与学法

教学用具

2.3.2

双曲线的简单几何性质

第1课时

双曲线的简单几何性质

教学课时数

课型

1 新授课

1.通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质. 2了解双曲线的渐近性，并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题

双曲线的简单性质（范围、对称性、离心率、渐近线）的理解及简单应用

对渐近线的理解和应用. 讲练结合

教 学 过 程

是否用多媒体

是

补充

一、新课引入：

多媒体展示冷却通风塔的图片

我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂”，其形状就像照片中“粗烟囱”.那么这些“粗烟囱”是怎样建成的呢？

这就需要我们了解双曲线的简单几何性质

二、课堂探究：

探究点1 双曲线的简单几何性质

如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？

回忆一下双曲线的标准方程：

x2y221a0,b0.（焦点在x轴上）

2ab1.范围

x2因为21,即xa或xa

a2.对称性

以x代x方程不变，故图象关于 y 轴对称；

以y代y方程不变，故图象关于 x 轴对称；

以x代x且以y代y方程不变，故图象关于

原点 对称

3.顶点

（1）令y=0，得xa,则双曲线与x轴的两个交点为A1(a,0),A2(a,0)，我们把这两个点叫双曲线的顶点; 令x=0,得yb,这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点，但22b),B2(0,b)画在y轴上. 我们也把B1(0，（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做双曲线的半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长. 4.渐近线

下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与直线逐渐靠拢. 方案1：考查点到直线的距离MQ x2y221a0,b02ab 方案2：考查同横坐标的两点间的距离MN . 由双曲线的对称性知，我们只需证明第一象限的部分即可. 如图：设M(x,y)是双曲线上面的点，则

ybx2a2(xa)

abbx上有相同横坐标的点，则Yx

aa2N(x,Y)是直线yb2bba2yxax1xY （点N总是在点M上方）因为，所以

aaxaMNYybxx2a2xx2a2

22axxaabxx2a2bxx2a2a因为MQ是点M到直线y

bx的距离，且MQMN，当x逐渐增大时，MNa

逐渐减小，x无限增大，MN接近于0，MQ也接近于0. bx2y2对于双曲线221(a0,b0)，直线yx叫做双曲线的渐近线。

aabay2x2注意：1.双曲线221(a0,b0)的渐近线直线yx bab 2.渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线张口的开阔与否. x2y2222在方程221，如果ab，那么双曲线的方程为xya，它的实轴ab长和虚轴长都等于2a. 这时，四条直线xa,ya围成正方形，渐近线方程为yx，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴与虚轴所成的角。

等轴双曲线：

实轴与虚轴等长的双曲线。 等轴双曲线方程为xya或yxa

若焦点不确定，可设为xy(0) 5.离心率 与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比22222222c，叫做双曲线的离心率。因为ca0，a所以双曲线的离心率ec0 a思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？

ce由

aa2b2b1 aa2因此，e越大，渐近线斜率越大，倾斜角越大，张角越大，张口越开阔，e越小，渐近线斜率越小，倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭. 所以双曲线的离心率是反应双曲线开口大小的几何量. x2y2【提升总结】1.与双曲线221(a0,b0)有相同焦点的双曲线方程为

abx2y221(a0,b0)

2akbkx2y2 2.与双曲线221(a0,b0)有相同渐近线方程的双曲线方程为

ab

x2y2(0) a2b23.双曲线的简单几何性质

三、典例精讲

【例１】求双曲线9y16x144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

22y2x21

解：将双曲线方程化为标准方程得：16922由此可知，a16,b9 则cab25 c5

222于是双曲线的半实轴长a4 半虚轴长b3

5，0,5

离心率e 焦点在y轴上，焦点坐标为0，a4xx

b3c5

a4 渐近线方程为y【提升总结】求渐近线方程的方法：

1根据焦点坐在坐标轴直接写渐近线方程ybbx或yx

aa 2将双曲线中的常数项变为0，反解出y即可，如例题1中，将144变22为0，即9y16x0，解出y4x

3

四、课堂训练

1.已知0<θ

<,则双曲线

C1:

-

=1

与

C2:

-

=1

的(

)

A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

2.双曲线3xy3的渐近线方程为（ ）

22Ay3x13ByxCy3xDyx

332y21有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程3．与双曲线

x4是 ．

4.求中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为e的标准方程．

2的双曲线小结

布置作业

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