1.1.3 四种命题间的相互关系教案和课堂实录

1.1.2《四种命题及其关系》教学设计

学校：漳浦立人学校 授课人：温丽萍

教学内容

本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（人教A版）选修2-1第1章1.1.2与1.1.3内容。

教材的地位与作用

数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处都涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证。本节课研究的内容既是对学生初中学习过的命题知识的延续和提高，又是后面研究充分条件和必要条件、全称量词和存在量词等知识的基础。同时也是培养学生用逻辑用语来阐明数学知识的需要，是人们在日常生活中进行思考、交流的需要。

三维设计

◆知识与技能：掌握四种命题的概念及其相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． ◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

教学重点与难点

重点：四种命题的概念及其相互关系．

难点：会写四种命题并分析四种命题之间相互的关系，判断命题的真假．

授课类型：新授课

教具准备：多媒体课件．

课时安排：1课时

教学过程：

一、导读提纲

（投影1）

（让学生根据预习填相对空白的部分）

二. 基础知识的全面检测与过关（投影1）

（让学生先做）

1 / 5

（请学生回答，教师点评补充）

三.

重点、难点知识精讲

探究1、四种命题及关系

提问“正弦函数是周期函数”是命题吗？

回答：是

问题：请将命题“正弦函数是周期函数”改写成“若p，则q”的形式. （让学生们进行探讨)（投影7）

思考：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3) 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；

1.互逆命题的教学

（请学生回答，教师点评补充）

回答：命题(2)的条件和结论分别是命题(1)的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题，把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题；

（让学生齐读一遍）（投影7）

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

设计意图：使学生熟悉逆否命题的概念. （教师板书）

即若将原命题表示为：若p,则q．

则它的逆命题为：若q则p. 2.互否命题的教学

（请学生回答，教师点评补充）

回答：命题(3)的条件和结论分别是命题(1)的条件的否定和结论的否定，我们称这两个命题为互否命题，把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题；

（让学生齐读一遍）（投影9）

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一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条

件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的否命题．

设计意图：使学生熟悉逆否命题的概念. （教师板书）

即若将原命题表示为：若p则q．

则它的否命题为：若┐p则┐q. 3.逆否命题的教学

（请学生回答，教师点评补充）

回答：命题(4)的条件和结论分别是命题(1)的结论的否定和条件的否定，我们称这两个命题为互为逆否命题，把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题。

（让学生齐读一遍）（投影10）

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结

论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的逆否命题．

设计意图：使学生熟悉逆否命题的概念. （教师板书）

即若将原命题表示为：若p，则q．

则它的逆否命题为：若┐q，则┐p. 探究2、四种命题的真假

（请学生写出或者口答例1的逆命题、否命题和逆否命题，再判断命题的真假）

若x23x20,则x2例1：原命题： （假）

2若x2,则x3x20（真）

逆命题： 若x23x20,则x2（真）

否命题： 若x2,则x23x20（假）

逆否命题： 例2：原命题：若同位角相等，则两直线平行. （真）

逆命题：若两直线平行，则同位角相等. （真）

否命题：若同位角不相等，则两直线不平行. （真）

逆否命题：若两直线不平行，则同位角不相等. （真）

例3：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 （假）

逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 （假）

否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 （假）

逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。

（假）

由以上3个例子我们得出了四种命题的真假性，有如下情况：

原 命 题

逆 命 题

否 命 题

逆 否 命 题

真

真

真

假

3 / 5

真

假

真

真

假

假

真

假

真

假

假

假

观察此表格，你能找出原命题与逆否命题，逆命题与否命题真假性之间的联系么？原命题与逆命题呢？原命题与否命题呢？（请学生回答）

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

题型一

四种命题的概念

【例1】

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.

(1)若m·n<0，则方程mx－x＋n＝0有实数根；

2 (2)两个全等三角形的面积相等．

题型二

四种命题的关系

【例2】

下列命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“若acbc，则ab”的逆命题. 其中是真命题的是________(填序号). 题型三

等价命题的应用

方向1 判断命题的真假

【例3-1】

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式

22x2＋2a＋1x＋a2＋20的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假. 方向2 证明数学命题

10，则a2b＋1. 【例3－2】

证明：若a－4b－2a＋四 .重点、难点知识分层运用

1.若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是m，则m是p的“(

)

A.原命题 B.逆命题 C.否命题 D.逆否命题

2.判断下列说法是否正确。

1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；

2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。

3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。

4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。

3.给出以下命题：

①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题.

其中为真命题的是__________(填序号). 课堂小结

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1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

(3)按照四种命题的结构写出所求命题. 若P，则q．

原命题

互 逆

互 为

互

否命题

若￢P，则￢q．

互 逆

否

逆

否

若q，则P．

逆命题

互

否

为 逆

互

否

逆否命题

若￢q，则￢P．

2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础. 四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

五

、分层作业: 课本P8 2、3

六：教学反思

（1）四种命题的概念；

（2）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；

（3）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；

（4）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．

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